Calcule o fio delgado, descrito pela curva α(t) = (cos(t), t, sen(t)) com t ∈ [0, pi/2].
Calcule a massa desse fio supondo a densidade linear de massa igual a soma dos quadrados coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um fio delgado que segue a curva para entre e . A densidade linear de massa é dada pela soma dos quadrados das coordenadas, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de um fio delgado pode ser calculada usando a integral:
Aqui, é a densidade linear avaliada na curva, e é o comprimento do vetor derivada, que representa o diferencial de arco .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Se , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de :
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos agora encontrar . Substituindo as coordenadas da curva na densidade:
Novamente, usando a identidade trigonométrica :

Passo 6

Agora, juntando tudo na integral para a massa:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo :
Podemos simplificar colocando em evidência :

Resposta

A massa do fio é .

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