Calcule o fio delgado, descrito pela curva
.
Calcule a massa desse fio supondo a densidade linear de massa igual a soma dos quadrados coordenadas.
Calcule a massa desse fio supondo a densidade linear de massa igual a soma dos quadrados coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um fio delgado que segue a curva para
entre
e
. A densidade linear de massa é dada pela soma dos quadrados das coordenadas, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de um fio delgado pode ser calculada usando a integral:
Aqui,
é a densidade linear avaliada na curva, e
é o comprimento do vetor derivada, que representa o diferencial de arco
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Se , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Sabemos que , então:
Passo 5
Vamos agora encontrar
. Substituindo as coordenadas da curva na densidade:
Novamente, usando a identidade trigonométrica :
Passo 6
Agora, juntando tudo na integral para a massa:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
:
Podemos simplificar colocando em evidência
:
Resposta
A massa do fio é
.