Para cada um dos campos abaixo, calcule
integralC F cdot d r
onde a curva C também é indicada em cada caso.
(b) F=(x^2+y^2) i-x j e C : circunferência dada por x^2+y^2=1 de (1,0) a (0,1), no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha do campo vetorial F = (x^2+y^2) i - x j ao longo da curva C, que é uma circunferência de raio 1, do ponto (1,0) até (0,1), no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Como C é uma circunferência unitária no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir o parâmetro theta variando de 0 a pi2.
Então, a parametrização fica:
x(theta) = cos(theta)
y(theta) = sin(theta)
com theta in [0, pi2].

Passo 3

Agora, vamos calcular dr, que é a derivada do vetor posição em relação a theta multiplicada por dtheta.
Derivando x(theta) e y(theta):
dxdtheta = -sin(theta)
dydtheta = cos(theta)
Então,
dr = ( dxdtheta i + dydtheta j ) dtheta = ( -sin(theta) i + cos(theta) j ) dtheta

Passo 4

Vamos substituir x e y na expressão do campo vetorial F:
F = ( (cos^2theta + sin^2theta ) ) i - costheta j
Sabemos que cos^2theta + sin^2theta = 1, então simplificando:
F = 1 cdot i - costheta j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (1 cdot (-sintheta) ) + ( -costheta cdot costheta ) dtheta = -sintheta - cos^2theta dtheta

Passo 6

Vamos integrar essa expressão de theta = 0 a theta = pi2:
integral0^pi2 ( -sintheta - cos^2theta ) dtheta
Vamos separar as integrais:
-integral0^pi2 sintheta dtheta - integral0^pi2 cos^2theta dtheta

Passo 7

Calculando a primeira integral:
-integral sintheta dtheta = costheta g|0^pi2 = cos(pi2) - cos(0) = 0 - 1 = -1
Agora, a segunda integral. Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 + cos 2theta2:
-integral0^pi2 1 + cos 2theta2 dtheta = -12 integral0^pi2 1 dtheta - 12 integral0^pi2 cos 2theta dtheta
Integrando:
-12 [ theta ]0^pi2 - 12 [ sin 2theta2 ]0^pi2 = -12 ( pi2 - 0 ) - 14 ( sin pi - sin 0 ) = -pi4 - 0 = -pi4

Passo 8

Somando as duas partes:
-1 - pi4 = -(1 + pi4)

Resposta

integralC F cdot d r = -(1 + pi4)

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