onde a curva também é indicada em cada caso.
(b) e : circunferência dada por de a , no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é uma circunferência de raio 1, do ponto até , no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma circunferência unitária no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir o parâmetro variando de a .
Então, a parametrização fica:
com .
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é a derivada do vetor posição em relação a multiplicada por .
Derivando e :
Então,
Passo 4
Vamos substituir e na expressão do campo vetorial :
Sabemos que , então simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 6
Vamos integrar essa expressão de a :
Vamos separar as integrais:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral. Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 + cos 2theta2:
-integral0^pi2 1 + cos 2theta2 dtheta = -12 integral0^pi2 1 dtheta - 12 integral0^pi2 cos 2theta dtheta
Integrando:
-12 [ theta ]0^pi2 - 12 [ sin 2theta2 ]0^pi2 = -12 ( pi2 - 0 ) - 14 ( sin pi - sin 0 ) = -pi4 - 0 = -pi4