Para cada um dos campos abaixo, calcule
onde a curva também é indicada em cada caso.
(b) e : circunferência dada por de a , no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é uma circunferência de raio 1, do ponto até , no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma circunferência unitária no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir o parâmetro variando de a .
Então, a parametrização fica:
com .

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada do vetor posição em relação a multiplicada por .
Derivando e :
Então,

Passo 4

Vamos substituir e na expressão do campo vetorial :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Vamos integrar essa expressão de a :
Vamos separar as integrais:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral. Usamos a identidade trigonométrica :
Integrando:

Passo 8

Somando as duas partes:

Resposta

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O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial . Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(a) .
Encontre por derivaçäo implícita.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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