Encontre d/y d/x por derivaçäo implícita.
e^y cos(x) = 1 + sen(xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de em relação a usando derivação implícita. O enunciado é:
Para isso, vamos precisar entender as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, já que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos uma função que depende de , que por sua vez depende de , usamos a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Vamos aplicar a regra do produto:
Derivando em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
A derivada de 1 é 0, então temos apenas:
Aqui, precisamos usar a regra da cadeia novamente. A derivada de em relação a é , onde . Então:
Aplicando a regra do produto em :

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:

Passo 5

Vamos isolar . Primeiro, distribuindo o lado direito:
Reunindo os termos com de um lado:
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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