Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=2^infty n^3n^4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste do limite e o teste de comparação. Vamos precisar comparar a série dada com uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Para entender o comportamento dessa expressão quando cresce, podemos simplificar. Observamos que cresce muito mais rápido que , então o denominador domina o numerador conforme fica grande.

Passo 3

Para facilitar a comparação, vamos aproximar o termo por . Isso nos sugere comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste de Comparação. Como para todo (porque ), e a série diverge, pela comparação direta, nossa série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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