Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste do limite e o teste de comparação. Vamos precisar comparar a série dada com uma série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para entender o comportamento dessa expressão quando
cresce, podemos simplificar. Observamos que
cresce muito mais rápido que
, então o denominador domina o numerador conforme
fica grande.
Passo 3
Para facilitar a comparação, vamos aproximar o termo
por
. Isso nos sugere comparar nossa série com a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste de Comparação. Como
para todo
(porque
), e a série
diverge, pela comparação direta, nossa série
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Para cada um dos campos abaixo, calcule
onde a curva
também é indicada em cada caso.
(b) e
: circunferência dada por
de
a
, no primeiro quadrante.
(b)
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(a) .
(a)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado: