Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty n-1n^2 raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries infinitas, especialmente os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor. Temos:
n - 1n^2 raizn = nn^2 raizn - 1n^2 raizn = 1n^1 raizn - 1n^2.5
Simplificando mais:
1n^1 + 0.5 - 1n^2.5 = 1n^1.5 - 1n^2.5

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência da série original. Primeiro, verificamos a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | n - 1n^2 raizn | = sumn=1^infty n - 1n^2.5
Como para todo , podemos comparar com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se (Teste da série p). Aqui, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Como e a série com converge, pela comparação, a série dos valores absolutos também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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