O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(a)
.
(a)
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial
e precisa descobrir se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço. Vamos precisar usar o conceito de divergência para identificar isso, já que a divergência nos mostra se há criação ou destruição de fluxo em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada pela fórmula:
Passo 3
Vamos identificar cada componente do vetor
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
(já que não há em ) -
(já que não há em )
Passo 5
Somando as derivadas parciais:
Passo 6
A divergência é constante e igual a 1 em todo o espaço. Isso significa que em todos os pontos há uma fonte, já que a divergência positiva indica criação de fluxo.
Resposta
O campo vetorial possui uma fonte em todas as regiões do espaço, já que
.
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por derivaçäo implícita.
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
© .
©
Para cada um dos campos abaixo, calcule
onde a curva
também é indicada em cada caso.
(b) e
: circunferência dada por
de
a
, no primeiro quadrante.
(b)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.