O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial v. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(a) v(x, y, z) = (x + y) i - x z^3 j + x^2 sen(y) k.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial e precisa descobrir se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço. Vamos precisar usar o conceito de divergência para identificar isso, já que a divergência nos mostra se há criação ou destruição de fluxo em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial v. A divergência é dada pela fórmula:

Passo 3

Vamos identificar cada componente do vetor v:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. (já que não há y em )
  2. (já que não há z em )

Passo 5

Somando as derivadas parciais:

Passo 6

A divergência é constante e igual a 1 em todo o espaço. Isso significa que em todos os pontos há uma fonte, já que a divergência positiva indica criação de fluxo.

Resposta

O campo vetorial possui uma fonte em todas as regiões do espaço, já que .

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