Em cada caso abaixo calcule lim x a f(x), caso existam.
f(x)=(1x-1-31-x^3), x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 (1x-1-31-x^3). Este exercício está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente aos limites que envolvem indeterminações. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
f(x) = 1x-1 - 31 - x^3
Observe que 1 - x^3 pode ser fatorado usando a identidade de diferença de cubos:
1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)
Então, substituindo na função:
f(x) = 1x-1 - 3(1 - x)(1 + x + x^2)

Passo 3

Notemos que x - 1 é igual a -(1 - x). Vamos reescrever a função com isso:
f(x) = 1x-1 + 3(x - 1)(1 + x + x^2)
Agora, podemos colocar os termos sobre um denominador comum:
f(x) = 1 cdot (1 + x + x^2) + 3(x - 1)(1 + x + x^2)
Simplificando o numerador:
f(x) = x^2 + x + 4(x - 1)(1 + x + x^2)

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando x se aproxima de 1:
  • No numerador, substituindo x = 1:
1^2 + 1 + 4 = 6
  • No denominador, substituindo x = 1:
(1 - 1)(1 + 1 + 1^2) = 0 cdot 3 = 0
Isso nos mostra que temos uma forma de 60, o que indica uma indeterminação do tipo número0ú.

Passo 5

Para entender o comportamento do limite, vamos analisar de dois lados:
  • Quando x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+):
    • x - 1 é positivo e muito pequeno.
    • O denominador é um número positivo muito pequeno, então 6positivo pequeno tende a +infty.
  • Quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x to 1^-):
    • x - 1 é negativo e muito pequeno.
    • O denominador é um número negativo muito pequeno, então 6negativo pequeno tende a -infty.

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela direita e -infty pela esquerda), o limite lim x 1 f(x) não existe.

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