Calcule integral1 / 3^3 raizxx^2+x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das funções arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever o denominador:
raizxx^2 + x = raizxx(x + 1) = x^1/2x(x + 1) = 1x^1/2(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
t = raizx Rightarrow t^2 = x Rightarrow dx = 2t , dt

Passo 4

Substituindo integral1/3^3 1t(x + 1) cdot 2t , dt = 2 integralraiz1/3^raiz3 1t^2 + 1 , dt e 2 integralraiz1/3^raiz3 1t^2 + 1 , dt na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

A integral integral 1t^2 + 1 , dt = arctan(t) + C é uma das formas básicas que resulta na função arctangente. Ou seja:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
2 [ arctan(raiz3) - arctan(raiz13) ]
Sabemos que:
arctan(raiz3) = pi3 e arctan(1raiz3) = pi6

Passo 7

Substituindo esses valores:
2 ( pi3 - pi6 ) = 2 ( pi6 ) = pi3

Resposta

O valor da integral é .

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