Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das funções arctangente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 5
A integral
é uma das formas básicas que resulta na função arctangente. Ou seja:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
, uma função.
Assumindo que , calcule
Assumindo que
Em cada caso abaixo calcule
, caso existam.
.
Use os resultados de (a) para calcular
. (DICA: verifique que o denominador corresponde à forma fatorada
.)
- O polinômio resultante é da forma
, ou seja, é um polinômio simétrico e, portanto, há uma forma de fatoração específica que o decompõe em dois polinômios de grau dois.
Calcule a seguinte integral definida dados
: