Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das funções arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever o denominador:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

A integral é uma das formas básicas que resulta na função arctangente. Ou seja:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo esses valores:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Seja , uma função.
Assumindo que , calcule
Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.
Use os resultados de (a) para calcular . (DICA: verifique que o denominador corresponde à forma fatorada .)
  • O polinômio resultante é da forma , ou seja, é um polinômio simétrico e, portanto, há uma forma de fatoração específica que o decompõe em dois polinômios de grau dois.
Calcule a seguinte integral definida dados :