Seja , uma função.
Assumindo que , calcule

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função e queremos descobrir qual é o limite de quando tende a mais infinito. A informação que recebemos é que . Isso envolve o estudo de limites e crescimento assintótico de funções, ou seja, como as funções se comportam quando fica muito grande. Para resolver isso, vamos entender o que esse limite nos diz sobre .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Esse limite informa que, conforme fica cada vez maior, o quociente cresce sem limites, ou seja, tende a mais infinito. Em outras palavras, está crescendo muito mais rápido que quando vai para o infinito.

Passo 3

Sabemos que é uma função polinomial de segundo grau, e seu comportamento para grande é dominado pelo termo . Então, podemos simplificar nossa análise observando que cresce aproximadamente como . Portanto, se também tende a mais infinito, isso implica que está crescendo ainda mais rápido que .
Matematicamente, se:
então:

Resposta

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Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.
Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.
Calcule .
Use os resultados de (a) para calcular . (DICA: verifique que o denominador corresponde à forma fatorada .)
  • O polinômio resultante é da forma , ou seja, é um polinômio simétrico e, portanto, há uma forma de fatoração específica que o decompõe em dois polinômios de grau dois.