Em cada caso abaixo calcule o limite de
, quando
.
(n)
(considere
)
(n)
(considere
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para isso, vamos usar conceitos de limites e substituição de variáveis. Vamos precisar lembrar de como fatorar expressões e simplificar frações.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
. Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, reescrevemos o numerador em termos de
:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Sabemos que
pode ser fatorado como:
Mas para facilitar a substituição, vamos expressar
em termos de
:
Então, a função fica:
Passo 5
Vamos fatorar o numerador
. Isso é uma diferença de quadrados:
E mais uma vez,
também é uma diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na função:
Note que
, então podemos reescrever:
Passo 7
Agora podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 8
Finalmente, substituímos
:
Resposta
O limite é
.