Em cada caso abaixo calcule o limite de , quando .
(n)
(considere )

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Para isso, vamos usar conceitos de limites e substituição de variáveis. Vamos precisar lembrar de como fatorar expressões e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja . Quando se aproxima de 1, se aproxima de .

Passo 3

Agora, reescrevemos o numerador em termos de :
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado como:
Mas para facilitar a substituição, vamos expressar em termos de :
Então, a função fica:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador . Isso é uma diferença de quadrados:
E mais uma vez, também é uma diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 6

Substituindo de volta na função:
Note que , então podemos reescrever:

Passo 7

Agora podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 8

Finalmente, substituímos :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Em cada caso abaixo calcule o limite de , quando .
(h) .
Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto indicado.
(b)
Sabendo que , calcule e .
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de no ponto .
(b)