Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
;
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? A gente quer descobrir se o campo vetorial
é um campo gradiente no domínio
. Se for, a gente também vai encontrar uma função potencial para ele. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para serem campos gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é um campo gradiente se existir uma função
tal que:
Isso significa que:
Passo 3
Para verificar se
é um campo gradiente, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, a condição necessária é que:
Vamos calcular:
Como
, a condição não é satisfeita.
Passo 4
Como a condição
não é verdadeira, concluímos que
não é um campo gradiente no domínio
.
Resposta
O campo vetorial
não é um campo gradiente no domínio
.
Exercícios relacionados
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
se
;
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde .