Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em ;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? A gente quer descobrir se o campo vetorial é um campo gradiente no domínio . Se for, a gente também vai encontrar uma função potencial para ele. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para serem campos gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é um campo gradiente se existir uma função tal que:
Isso significa que:

Passo 3

Para verificar se é um campo gradiente, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, a condição necessária é que:
Vamos calcular:
Como , a condição não é satisfeita.

Passo 4

Como a condição não é verdadeira, concluímos que não é um campo gradiente no domínio .

Resposta

O campo vetorial não é um campo gradiente no domínio .

Exercícios relacionados

Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em se ;
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .