Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial
é um campo gradiente no domínio
. Se for, a gente também precisa achar uma função potencial para ele. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e condições para serem campos gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial
é um campo gradiente se existir uma função escalar
tal que
, ou seja,
. Isso significa que
é conservativo e sua circulação em qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Para verificar se
é um campo gradiente, precisamos verificar se ela satisfaz a condição de conservatividade, que no caso bidimensional é:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 5
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo
satisfaz a condição necessária para ser um campo gradiente.
Passo 6
Agora que sabemos que
é um campo gradiente, precisamos encontrar a função potencial
tal que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
, temos:
Portanto,
é constante.
Passo 9
Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante, já que estamos interessados na forma geral da função potencial.
Resposta
Sim,
é um campo gradiente no domínio
. Uma função potencial para
é:
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Derive a seguinte função:
Calcule a derivada da seguinte função:
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
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