Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é um campo gradiente no domínio . Se for, a gente também precisa achar uma função potencial para ele. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e condições para serem campos gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial é um campo gradiente se existir uma função escalar tal que , ou seja, . Isso significa que é conservativo e sua circulação em qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para verificar se é um campo gradiente, precisamos verificar se ela satisfaz a condição de conservatividade, que no caso bidimensional é:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo satisfaz a condição necessária para ser um campo gradiente.

Passo 6

Agora que sabemos que é um campo gradiente, precisamos encontrar a função potencial tal que:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que depende só de .

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a , temos:
Portanto, é constante.

Passo 9

Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante, já que estamos interessados na forma geral da função potencial.

Resposta

Sim, é um campo gradiente no domínio . Uma função potencial para é:

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Derive a seguinte função:
Calcule a derivada da seguinte função:
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em ;