Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
se
;
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é um campo gradiente no domínio
. Materia que estamos falando aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos gradientes e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo gradiente. Um campo vetorial
é um campo gradiente se existir uma função escalar
tal que
, ou seja,
. Campos gradientes são conservativos, o que significa que o trabalho realizado por eles é independente do caminho percorrido.
Passo 3
Para verificar se
é um campo gradiente, vamos checar se ele satisfaz a condição de conservatividade em nosso domínio
. Em duas dimensões, isso significa que a derivada cruzada das componentes de
deve ser igual. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Calculando
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 6
Como
, o campo
satisfaz a condição de conservatividade no domínio considerado. Portanto,
é um campo gradiente em
.
Passo 7
Agora que sabemos que
é um campo gradiente, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Fazendo uma substituição
,
, mas como
é constante em relação a
, a integral resulta em:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos escolher a constante como zero para simplificar.
Resposta
Sim,
é um campo gradiente no domínio
, e uma função potencial é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
;
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .