Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em se ;

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é um campo gradiente no domínio . Materia que estamos falando aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos gradientes e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo gradiente. Um campo vetorial é um campo gradiente se existir uma função escalar tal que , ou seja, . Campos gradientes são conservativos, o que significa que o trabalho realizado por eles é independente do caminho percorrido.

Passo 3

Para verificar se é um campo gradiente, vamos checar se ele satisfaz a condição de conservatividade em nosso domínio . Em duas dimensões, isso significa que a derivada cruzada das componentes de deve ser igual. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Calculando :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 6

Como , o campo satisfaz a condição de conservatividade no domínio considerado. Portanto, é um campo gradiente em .

Passo 7

Agora que sabemos que é um campo gradiente, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Fazendo uma substituição , , mas como é constante em relação a , a integral resulta em:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos escolher a constante como zero para simplificar.

Resposta

Sim, é um campo gradiente no domínio , e uma função potencial é .

Exercícios relacionados

Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em ;
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .