Em cada caso abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)) em Omega = {(x, y): x > 0} se y = 0;

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)) é um campo gradiente no domínio . Materia que estamos falando aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos gradientes e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo gradiente. Um campo vetorial F é um campo gradiente se existir uma função escalar f(x, y) tal que , ou seja, . Campos gradientes são conservativos, o que significa que o trabalho realizado por eles é independente do caminho percorrido.

Passo 3

Para verificar se F é um campo gradiente, vamos checar se ele satisfaz a condição de conservatividade em nosso domínio Ω. Em duas dimensões, isso significa que a derivada cruzada das componentes de F deve ser igual. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Calculando :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 6

Como , o campo F satisfaz a condição de conservatividade no domínio considerado. Portanto, F é um campo gradiente em Ω.

Passo 7

Agora que sabemos que F é um campo gradiente, vamos encontrar a função potencial f(x, y) tal que:
Vamos integrar em relação a x para encontrar f(x, y):
Fazendo uma substituição , , mas como y é constante em relação a x, a integral resulta em:
Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a para encontrar g(y):
Isso implica que , então g(y) é uma constante. Podemos escolher a constante como zero para simplificar.

Resposta

Sim, F é um campo gradiente no domínio Ω, e uma função potencial é .

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