Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O exercício quer que a gente mostre que a integral é independente do caminho e, depois, calcular o valor dela de
até
. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. A integral dada é:
Aqui, temos
e
. Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se o campo vetorial
é conservativo.
Passo 3
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição prática é verificar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Como
, o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando isso em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Vamos usar a segunda condição
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Então, a função potencial completa é:
Como estamos calculando uma diferença, a constante
vai se cancelar.
Passo 8
Finalmente, para calcular a integral de
até
, usamos:
Calculando cada parte:
Resposta
A integral é independente do caminho e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Derive a seguinte função:
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
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Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em
se
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