Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O exercício quer que a gente mostre que a integral é independente do caminho e, depois, calcular o valor dela de até . Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. A integral dada é:
Aqui, temos e . Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição prática é verificar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como , o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando isso em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Vamos usar a segunda condição :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 7

Então, a função potencial completa é:
Como estamos calculando uma diferença, a constante vai se cancelar.

Passo 8

Finalmente, para calcular a integral de até , usamos:
Calculando cada parte:

Resposta

A integral é independente do caminho e seu valor é .

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Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Derive a seguinte função:
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em ;
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em se ;