Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
integral(1,1)^(a, b) 2 x y d x+(x^2+y^2) d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O exercício quer que a gente mostre que a integral é independente do caminho e, depois, calcular o valor dela de até . Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. A integral dada é:
integral(1,1)^(a, b) 2xy , dx + (x^2+y^2) dy
Aqui, temos e . Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição prática é verificar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando partialpartial y (2xy) = 2x :
partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
E calculando :
Como , o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial partial Fpartial x = 2xy . Sabemos que:
F(x, y) = integral 2xy , dx = x^2 y + g(y)
Integrando isso em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Vamos usar a segunda condição partialpartial y (x^2 y + g(y)) = x^2 + g'(y) = x^2 + y^2 :
g'(y) = y^2
Isso implica que:
g(y) = 13 y^3 + C
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 7

Então, a função potencial completa é:
F(x, y) = x^2 y + 13 y^3 + C
Como estamos calculando uma diferença, a constante vai se cancelar.

Passo 8

Finalmente, para calcular a integral de integral(1,1)^(a, b) 2xy , dx + (x^2+y^2) dy = F(a, b) - F(1, 1) até F(a, b) = a^2 b + 13 b^3 , usamos:
F(1, 1) = 1^2 cdot 1 + 13 cdot 1^3 = 1 + 13 = 43
Calculando cada parte:

Resposta

A integral é independente do caminho e seu valor é .

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