Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    F(x, y, z)=(2 x,-3 y, z^2), onde gamma(t)=(cos t, sin t, t), t in[0, pi / 2].

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve características de uma curva no espaço e calcular uma integral de linha. A curva dada é gamma(t) = (cos t, sin t, t) para t in [0, pi/2]. Vamos verificar se a curva é lisa por partes, simples, fechada e, por fim, calcular a integral de linha da função vetorial F(x, y, z) = (2x, -3y, z^2) ao longo dessa curva. Para isso, precisaremos entender conceitos de cálculo vetorial como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva gamma é lisa por partes. Uma curva é dita lisa por partes se é contínua e possui derivadas contínuas em pedaços dentro do intervalo considerado.
A função gamma(t) = (cos t, sin t, t) é composta por funções trigonométricas e uma função linear, todas contínuas e diferenciáveis em todo o intervalo [0, pi/2]. Além disso, suas derivadas também são contínuas nesse intervalo. Portanto, gamma é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos decidir se a curva gamma é simples. Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é único para cada valor de parâmetro t.
Considerando gamma(t) = (cos t, sin t, t), para t in [0, pi/2], a componente z = t está constantemente aumentando, enquanto as componentes x = cos t e y = sin t descrevem um movimento circular no plano xy. Como z nunca diminui e cada valor de t corresponde a um único ponto na curva, não há repetição de pontos. Assim, gamma é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a curva gamma é fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial é igual ao ponto final.
Calculando os pontos inicial e final:
  • Ponto inicial: gamma(0) = (cos 0, sin 0, 0) = (1, 0, 0)
  • Ponto final: gamma(pi2) = (cos pi2, sin pi2, pi2) = (0, 1, pi2)
Como (1, 0, 0) neq (0, 1, pi2), a curva gamma não é fechada.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr. Para isso, usamos a definição de integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Primeiro, encontramos a derivada de gamma(t):
gamma'(t) = ( -sin t, cos t, 1 )
Agora, substituímos as coordenadas de gamma(t) na função F:
F(gamma(t)) = (2cos t, -3sin t, t^2)
A integral de linha fica então:
integral0^pi/2 F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt = integral0^pi/2 (2cos t cdot (-sin t) + (-3sin t) cdot cos t + t^2 cdot 1) dt
Simplificando:
= integral0^pi/2 (-2cos t sin t - 3sin t cos t + t^2) dt
= integral0^pi/2 (-5sin t cos t + t^2) dt
Agora, calculamos as integrais separadamente:
  1. integral0^pi/2 -5sin t cos t , dt
Usamos a substituição u = sin t, du = cos t dt:
= -5 integral0^1 u , du = -5 [u^22]0^1 = -5 (12 - 0) = -52
  1. integral0^pi/2 t^2 , dt = [t^33]0^pi/2 = (pi/2)^33 = pi^324
Somando os resultados:
-52 + pi^324

Resposta

A integral de linha integralgamma F cdot dr é igual a -dfrac52 + dfracpi^324.

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