Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
- Decida se é uma curva simples.
- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde .
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve características de uma curva no espaço e calcular uma integral de linha. A curva dada é para . Vamos verificar se a curva é lisa por partes, simples, fechada e, por fim, calcular a integral de linha da função vetorial ao longo dessa curva. Para isso, precisaremos entender conceitos de cálculo vetorial como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva é lisa por partes. Uma curva é dita lisa por partes se é contínua e possui derivadas contínuas em pedaços dentro do intervalo considerado.
A função é composta por funções trigonométricas e uma função linear, todas contínuas e diferenciáveis em todo o intervalo . Além disso, suas derivadas também são contínuas nesse intervalo. Portanto, é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos decidir se a curva é simples. Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é único para cada valor de parâmetro .
Considerando , para , a componente está constantemente aumentando, enquanto as componentes e descrevem um movimento circular no plano . Como nunca diminui e cada valor de corresponde a um único ponto na curva, não há repetição de pontos. Assim, é uma curva simples.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a curva é fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial é igual ao ponto final.
Calculando os pontos inicial e final:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
Como , a curva não é fechada.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a integral de linha . Para isso, usamos a definição de integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, substituímos as coordenadas de na função :
A integral de linha fica então:
Simplificando:
Agora, calculamos as integrais separadamente:
1.
Usamos a substituição , :
2.
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha é igual a .
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Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em se ;
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em ;
Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
- Decida se é uma curva simples.
- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
- Decida se é uma curva simples.
- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.