Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve características de uma curva no espaço e calcular uma integral de linha. A curva dada é
para
. Vamos verificar se a curva é lisa por partes, simples, fechada e, por fim, calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo dessa curva. Para isso, precisaremos entender conceitos de cálculo vetorial como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva
é lisa por partes. Uma curva é dita lisa por partes se é contínua e possui derivadas contínuas em pedaços dentro do intervalo considerado.
A função
é composta por funções trigonométricas e uma função linear, todas contínuas e diferenciáveis em todo o intervalo
. Além disso, suas derivadas também são contínuas nesse intervalo. Portanto,
é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos decidir se a curva
é simples. Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é único para cada valor de parâmetro
.
Considerando
, para
, a componente
está constantemente aumentando, enquanto as componentes
e
descrevem um movimento circular no plano
. Como
nunca diminui e cada valor de
corresponde a um único ponto na curva, não há repetição de pontos. Assim,
é uma curva simples.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a curva
é fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial é igual ao ponto final.
Calculando os pontos inicial e final:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
Como
, a curva
não é fechada.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a integral de linha
. Para isso, usamos a definição de integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, substituímos as coordenadas de
na função
:
A integral de linha fica então:
Simplificando:
Agora, calculamos as integrais separadamente:
Usamos a substituição
,
:
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.