Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde .

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve características de uma curva no espaço e calcular uma integral de linha. A curva dada é para . Vamos verificar se a curva é lisa por partes, simples, fechada e, por fim, calcular a integral de linha da função vetorial ao longo dessa curva. Para isso, precisaremos entender conceitos de cálculo vetorial como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva é lisa por partes. Uma curva é dita lisa por partes se é contínua e possui derivadas contínuas em pedaços dentro do intervalo considerado. A função é composta por funções trigonométricas e uma função linear, todas contínuas e diferenciáveis em todo o intervalo . Além disso, suas derivadas também são contínuas nesse intervalo. Portanto, é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos decidir se a curva é simples. Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é único para cada valor de parâmetro . Considerando , para , a componente está constantemente aumentando, enquanto as componentes e descrevem um movimento circular no plano . Como nunca diminui e cada valor de corresponde a um único ponto na curva, não há repetição de pontos. Assim, é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a curva é fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial é igual ao ponto final. Calculando os pontos inicial e final: - Ponto inicial: - Ponto final: Como , a curva não é fechada.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a integral de linha . Para isso, usamos a definição de integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Primeiro, encontramos a derivada de : Agora, substituímos as coordenadas de na função : A integral de linha fica então: Simplificando: Agora, calculamos as integrais separadamente: 1. Usamos a substituição , : 2. Somando os resultados:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.