Derive a seguinte função:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a Regra do Quociente e a Regra do Produto. Vamos passo a passo para não complicar, beleza?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente. Essa regra é útil quando temos uma função que é uma divisão de duas outras funções. Se tivermos , a derivada será:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos precisar derivar . Aqui, usamos a Regra do Produto, porque temos um produto de duas funções: e . A derivada do produto é:
Então, vamos calcular cada parte:
  • (a derivada de é 1)
  • (derivada de usando a regra da cadeia)
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar . Isso é mais simples:

Passo 5

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Notice que , então:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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Calcule a derivada da seguinte função:
Derive a seguinte função:
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Mostre que as integrais independem do caminho e calcule-as:
;