Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma curva formada por dois segmentos de reta: de a e de a . Precisamos:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Verificar se é uma curva simples.
  3. Verificar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

1. Verificar se é lisa por partes.
Uma curva é lisa por partes se pode ser dividida em um número finito de segmentos suaves, ou seja, sem quebras ou cantos abruptos.
No nosso caso, é composta por dois segmentos de reta:
  • De a
  • De a
Cada um desses segmentos é uma reta, que é uma curva suave (diferenciável). Além disso, a união desses segmentos forma a curva completa sem “saltos” além do ponto de conexão .
Conclusão: é lisa por partes.

Passo 3

2. Verificar se é uma curva simples.
Uma curva simples não se intersecta; ou seja, não passa pelo mesmo ponto mais de uma vez.
Vamos ver os pontos do nosso trajeto:
  • Inicia em
  • Passa por
  • Termina em
Nenhum desses pontos se repete e os segmentos de reta não se cruzam em outro ponto além de , que é o ponto de conexão.
Conclusão: é uma curva simples.

Passo 4

3. Verificar se é uma curva fechada.
Uma curva fechada começa e termina no mesmo ponto.
Nossa curva começa em e termina em . Como os pontos de início e fim são diferentes, a curva não é fechada.
Conclusão: não é uma curva fechada.

Passo 5

4. Calcular a integral de linha .
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é dada por:
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes aos dois segmentos da curva.
Segmento 1: De a .
Vamos parametrizar esse segmento. Seja , então:
  • (de 1 a 3)
  • (permanece 0)
  • (de 0 a 1)
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando:
Integrando:
Segmento 2: De a .
Parametrização. Seja :
  • (de 3 a 2)
  • (de 1 a 4)
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando:
Simplificando:
Integrando:
Integral Total:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Em cada caso abaixo, determine se é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
em se ;
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .