Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    F(x, y, z)=(z^2, 0, x^2), onde gamma é a reunião dos segmentos de reta que unem (1,0,0) a (3,0,1) e (3,0,1) a(2,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma curva gamma formada por dois segmentos de reta: de (1,0,0) a (3,0,1) e de (3,0,1) a (2,0,4). Precisamos:
  1. Verificar se gamma é lisa por partes.
  2. Verificar se gamma é uma curva simples.
  3. Verificar se gamma é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha integralgamma F, onde F(x, y, z)=(z^2, 0, x^2).
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

1. Verificar se gamma é lisa por partes.
Uma curva é lisa por partes se pode ser dividida em um número finito de segmentos suaves, ou seja, sem quebras ou cantos abruptos.
No nosso caso, gamma é composta por dois segmentos de reta:
  • De (1,0,0) a (3,0,1)
  • De (3,0,1) a (2,0,4)
Cada um desses segmentos é uma reta, que é uma curva suave (diferenciável). Além disso, a união desses segmentos forma a curva completa sem “saltos” além do ponto de conexão (3,0,1).
Conclusão: gamma é lisa por partes.

Passo 3

2. Verificar se gamma é uma curva simples.
Uma curva simples não se intersecta; ou seja, não passa pelo mesmo ponto mais de uma vez.
Vamos ver os pontos do nosso trajeto:
  • Inicia em (1,0,0)
  • Passa por (3,0,1)
  • Termina em (2,0,4)
Nenhum desses pontos se repete e os segmentos de reta não se cruzam em outro ponto além de (3,0,1), que é o ponto de conexão.
Conclusão: gamma é uma curva simples.

Passo 4

3. Verificar se gamma é uma curva fechada.
Uma curva fechada começa e termina no mesmo ponto.
Nossa curva começa em (1,0,0) e termina em (2,0,4). Como os pontos de início e fim são diferentes, a curva não é fechada.
Conclusão: gamma não é uma curva fechada.

Passo 5

4. Calcular a integral de linha integralgamma F.
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) ao longo de uma curva gamma é dada por:
integralgamma F cdot dr = integrala^b (Fx dxdt + Fy dydt + Fz dzdt) dt
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes aos dois segmentos da curva.
Segmento 1: De (1,0,0) a (3,0,1).
Vamos parametrizar esse segmento. Seja t in [0,1], então:
  • x(t) = 1 + 2t (de 1 a 3)
  • y(t) = 0 (permanece 0)
  • z(t) = 0 + t (de 0 a 1)
Derivadas:
  • dxdt = 2
  • dydt = 0
  • dzdt = 1
Substituindo na integral:
integral0^1 (z^2 cdot 2 + 0 cdot 0 + x^2 cdot 1) dt = integral0^1 ((t)^2 cdot 2 + (1 + 2t)^2 cdot 1) dt
Calculando:
integral0^1 (2t^2 + (1 + 4t + 4t^2)) dt = integral0^1 (2t^2 + 1 + 4t + 4t^2) dt = integral0^1 (6t^2 + 4t + 1) dt
Integrando:
2t^3 + 2t^2 + t |0^1 = 2 + 2 + 1 = 5
Segmento 2: De (3,0,1) a (2,0,4).
Parametrização. Seja t in [0,1]:
  • x(t) = 3 - t (de 3 a 2)
  • y(t) = 0
  • z(t) = 1 + 3t (de 1 a 4)
Derivadas:
  • dxdt = -1
  • dydt = 0
  • dzdt = 3
Substituindo na integral:
integral0^1 (z^2 cdot (-1) + 0 cdot 0 + x^2 cdot 3) dt = integral0^1 ((1 + 3t)^2 cdot (-1) + (3 - t)^2 cdot 3) dt
Calculando:
integral0^1 (- (1 + 6t + 9t^2) + 3(9 - 6t + t^2)) dt = integral0^1 (-1 -6t -9t^2 + 27 -18t +3t^2) dt
Simplificando:
integral0^1 (26 -24t -6t^2) dt
Integrando:
26t - 12t^2 - 2t^3 |0^1 = 26 - 12 - 2 = 12
Integral Total:
5 + 12 = 17

Resposta

A integral de linha integralgamma F é igual a 17.

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