Calcule a integral de linha . , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma curva formada por dois segmentos de reta: de a e de a . Precisamos:
Verificar se é lisa por partes.
Verificar se é uma curva simples.
Verificar se é uma curva fechada.
Calcular a integral de linha , onde .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
1. Verificar se é lisa por partes.
Uma curva é lisa por partes se pode ser dividida em um número finito de segmentos suaves, ou seja, sem quebras ou cantos abruptos.
No nosso caso, é composta por dois segmentos de reta:
De a
De a
Cada um desses segmentos é uma reta, que é uma curva suave (diferenciável). Além disso, a união desses segmentos forma a curva completa sem “saltos” além do ponto de conexão .
Conclusão: é lisa por partes.
Passo 3
2. Verificar se é uma curva simples.
Uma curva simples não se intersecta; ou seja, não passa pelo mesmo ponto mais de uma vez.
Vamos ver os pontos do nosso trajeto:
Inicia em
Passa por
Termina em
Nenhum desses pontos se repete e os segmentos de reta não se cruzam em outro ponto além de , que é o ponto de conexão.
Conclusão: é uma curva simples.
Passo 4
3. Verificar se é uma curva fechada.
Uma curva fechada começa e termina no mesmo ponto.
Nossa curva começa em e termina em . Como os pontos de início e fim são diferentes, a curva não é fechada.
Conclusão: não é uma curva fechada.
Passo 5
4. Calcular a integral de linha .
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é dada por:
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes aos dois segmentos da curva.