Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . $(d) e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis e um ponto específico . Precisamos:
  1. Determinar o vetor gradiente de .
  2. Calcular esse gradiente no ponto .
  3. Determinar a taxa de variação da função em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas parciais, vetor gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Calcular o vetor gradiente de :
O vetor gradiente de uma função várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis.
Matematicamente, para , o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Encontrar :
A derivada parcial de em relação a mantém e constantes.

Passo 4

Encontrar :
Mantendo e constantes.

Passo 5

Encontrar :
Mantendo e constantes.

Passo 6

Formar o vetor gradiente:
Agora, juntamos as três derivadas parciais:

Passo 7

Calcular o gradiente no ponto :
Substituímos , , na expressão do gradiente:
Calculando cada componente:
Portanto,

Passo 8

Determinar a taxa de variação da função na direção de :
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do vetor gradiente com um vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de :
O comprimento de é:
Assim, o vetor unitário é:
Agora, a taxa de variação direcional é:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação da função no ponto na direção do vetor é .

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