Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
. $(d)
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis
e um ponto específico
. Precisamos:
- Determinar o vetor gradiente de
. - Calcular esse gradiente no ponto
. - Determinar a taxa de variação da função em
na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas parciais, vetor gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Calcular o vetor gradiente de
:
O vetor gradiente de uma função várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis.
Matematicamente, para
, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Encontrar
:
A derivada parcial de
em relação a
mantém
e
constantes.
Passo 4
Encontrar
:
Mantendo
e
constantes.
Passo 5
Encontrar
:
Mantendo
e
constantes.
Passo 6
Formar o vetor gradiente:
Agora, juntamos as três derivadas parciais:
Passo 7
Calcular o gradiente no ponto
:
Substituímos
,
,
na expressão do gradiente:
Calculando cada componente:
Portanto,
Passo 8
Determinar a taxa de variação da função na direção de
:
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do vetor gradiente com um vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de
:
O comprimento de
é:
Assim, o vetor unitário
é:
Agora, a taxa de variação direcional
é:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação da função
no ponto
na direção do vetor
é
.
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ou
. $(d)
e
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. $(d)
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