Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(f) em

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar a equação do plano tangente à função no ponto dado . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , respectivamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso significa que a inclinação na direção de depende de .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada mostra como a inclinação na direção de varia com e .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais no ponto dado :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente no ponto é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Levando todos os termos para um lado:

Resposta

A equação do plano tangente à função no ponto é:

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Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a) em
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . $(d) e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)
Use a regra da cadeia para determinar ou . $(b) e