Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(f)
em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar a equação do plano tangente à função
no ponto dado
. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de
e
, respectivamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Isso significa que a inclinação na direção de
depende de
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada mostra como a inclinação na direção de
varia com
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais no ponto dado
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente no ponto
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Levando todos os termos para um lado:
Resposta
A equação do plano tangente à função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a)
em
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
. $(d)
e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)
Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(b)
e