Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(d)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar
. A gente tem a função
e as funções
,
e
. Então, vamos precisar conhecer a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Sabemos que
pode ser reescrito como
. Assim, temos:
Podemos simplificar mais usando as propriedades dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra da cadeia. A derivada de
será:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
No denominador:
Então, temos:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia determine
. $(d)
e
Deseja-se resolver a equação
pelo método do ponto fixo, utilizando
e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz
no intervalo
e que
é ponto fixo de
.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que
NÃO é uma contração em qualquer intervalo
que contenha a raiz
.
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo
e que, portanto,
.
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com
entre
e
, conclua que, sempre que
e
, então
.
f) Seja e considere a sequência definida por
. Mostre que, se
e
, então existe algum
tal que
. Conclua que, em geral, a sequência gerada por
não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de
c) Mostre que
d) Mostre que a derivada
e) Utilizando o Teorema do valor médio
f) Seja
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
. $(d)
e
Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a)
em