Usando a regra da cadeia determine . $(d) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A função dada é:
onde:
Então, vamos precisar da regra da cadeia para derivadas parciais e das fórmulas básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e :
Agora, queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando . Aplicaremos a regra do quociente, que para uma função , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos fatorar no numerador:
Cancelando :

Passo 6

Agora, vamos calcular usando a mesma regra do quociente. Temos:
Derivadas:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando no numerador:
Cancelando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Deseja-se resolver a equação pelo método do ponto fixo, utilizando e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz no intervalo e que é ponto fixo de .
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que NÃO é uma contração em qualquer intervalo que contenha a raiz .
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo e que, portanto, .
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com entre e , conclua que, sempre que e , então .
f) Seja e considere a sequência definida por . Mostre que, se e , então existe algum tal que . Conclua que, em geral, a sequência gerada por não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
Seja a função definida por .
a) Mostre que é um ponto fixo de .
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e conclua que é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida converge para .
Use a regra da cadeia para determinar ou . $(d) e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . $(d) e