Usando a regra da cadeia determine
. $(d)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A função dada é:
onde:
Então, vamos precisar da regra da cadeia para derivadas parciais e das fórmulas básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
:
Agora, queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Aplicaremos a regra do quociente, que para uma função
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas necessárias:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a mesma regra do quociente. Temos:
Derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando
no numerador:
Cancelando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e