Usando a regra da cadeia determine
. $(d)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A função dada é:
onde:
Então, vamos precisar da regra da cadeia para derivadas parciais e das fórmulas básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
:
Agora, queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Aplicaremos a regra do quociente, que para uma função
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas necessárias:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a mesma regra do quociente. Temos:
Derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando
no numerador:
Cancelando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Deseja-se resolver a equação
pelo método do ponto fixo, utilizando
e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz
no intervalo
e que
é ponto fixo de
.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que
NÃO é uma contração em qualquer intervalo
que contenha a raiz
.
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo
e que, portanto,
.
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com
entre
e
, conclua que, sempre que
e
, então
.
f) Seja e considere a sequência definida por
. Mostre que, se
e
, então existe algum
tal que
. Conclua que, em geral, a sequência gerada por
não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de
c) Mostre que
d) Mostre que a derivada
e) Utilizando o Teorema do valor médio
f) Seja
Seja
a função definida por
.
a) Mostre que é um ponto fixo de
.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida
converge para
.
a) Mostre que
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
c) Conclua que se
Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(d)
e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
. $(d)
e