Usando a regra da cadeia determine partial zpartial s e partial zpartial t. $(d) (d) e e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de z = sin(theta)r em relação a theta = s^2 + t^2 e r = s cdot t usando a regra da cadeia. A função dada é:
onde:
Então, vamos precisar da regra da cadeia para derivadas parciais e das fórmulas básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z = sin(s^2 + t^2)s cdot t em termos de e :
Agora, queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 . Aplicaremos a regra do quociente, que para uma função , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada de partial upartial s = cos(s^2 + t^2) cdot 2s em relação a partial vpartial s = t :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial s = (s cdot t) cdot (2s cos(s^2 + t^2)) - sin(s^2 + t^2) cdot t(s cdot t)^2
Simplificando:
partial zpartial s = 2s^2 t cos(s^2 + t^2) - t sin(s^2 + t^2)s^2 t^2
Podemos fatorar partial zpartial s = t(2s^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2))s^2 t^2 no numerador:
partial zpartial s = 2s^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2)s^2 t
Cancelando :

Passo 6

Agora, vamos calcular u = sin(s^2 + t^2) usando a mesma regra do quociente. Temos:
v = s cdot t
partial upartial t = cos(s^2 + t^2) cdot 2t
Derivadas:
  • Derivada de partial vpartial t = s em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial t = (s cdot t) cdot (2t cos(s^2 + t^2)) - sin(s^2 + t^2) cdot s(s cdot t)^2
Simplificando:
partial zpartial t = 2s t^2 cos(s^2 + t^2) - s sin(s^2 + t^2)s^2 t^2
Fatorando partial zpartial t = s(2t^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2))s^2 t^2 no numerador:
partial zpartial t = 2t^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2)s t^2
Cancelando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2)s^2 t
e
partial zpartial t = 2t^2 cos(s^2 + t^2) - sin(s^2 + t^2)s t^2

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