Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a) em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano em relação aos eixos e .

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que o ponto dado está realmente na superfície da função. Vamos substituir e na função :
Então, o ponto está na superfície de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , que são essenciais para determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Simplificando a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . $(d) e
Use a regra da cadeia para determinar ou . $(d) e
Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(f) em
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)