Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a)
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano em relação aos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que o ponto dado está realmente na superfície da função. Vamos substituir
e
na função
:
Então, o ponto
está na superfície de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, que são essenciais para determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
. $(d)
e
Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(d)
e
Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(f)
em
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)