Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^3 integral1-x^raizx x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral iterada integral1^3 integral1-x^raizx x y , d y , d x. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos entender primeiro a área sobre a qual vamos integrar e depois calcular a integral, possivelmente mudando a ordem de integração para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida para x variando de 1 a 3, e para cada valor de x, y varia de 1 - x até raizx. Vamos ver como isso fica no plano xy.
  • Limites de x: De 1 a 3.
  • Limites de y para cada x: De 1 - x até raizx.
Então, para cada x entre 1 e 3, y vai de uma linha inclinada ( y = 1 - x) até a curva da raiz quadrada ( y = raizx).

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região de integração. Imagine o gráfico com x no eixo horizontal e y no vertical:
  • A linha y = 1 - x começa em (1, 0) e vai até (3, -2).
  • A curva y = raizx começa em (0, 0) e vai até (3, raiz3).
A região de integração é o espaço entre essas duas curvas, de x = 1 a x = 3.

Passo 4

Para facilitar a integração, podemos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em y e depois em x, vamos integrar primeiro em x e depois em y.
Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
  • Limites de y: Observando a região, y varia de -2 (quando x = 3 na linha y = 1 - x) até raiz3 (na curva y = raizx).
  • Limites de x para cada y:
    • Para y <= 0, a linha y = 1 - x implica x = 1 - y.
    • Para y >= 0, a curva y = raizx implica x = y^2.
Então, os novos limites ficam:
  • Para y de -2 a 0: x vai de 1 - y até 3.
  • Para y de 0 a raiz3: x vai de y^2 até 3.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:
integral-2^0 integral1 - y^3 x y , d x , d y + integral0^raiz3 integraly^2^3 x y , d x , d y
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Primeira parte da integral:
integral-2^0 integral1 - y^3 x y , d x , d y
Integramos em x:
integral-2^0 y [ x^22 ]1 - y^3 , d y = integral-2^0 y ( 92 - (1 - y)^22 ) , d y
Simplificando:
integral-2^0 y ( 9 - (1 - 2y + y^2)2 ) , d y = integral-2^0 y ( 8 + 2y - y^22 ) , d y = integral-2^0 (4y + y^2 - y^32) , d y
Integrando termo a termo:
[2y^2 + y^33 - y^48]-2^0 = (0 + 0 - 0) - (8 + -83 - 168) = 0 - (8 - 83 - 2) = -(6 - 83) = -(18 - 83) = -(103) = -103

Passo 7

Segunda parte da integral:
integral0^raiz3 integraly^2^3 x y , d x , d y
Integramos em x:
integral0^raiz3 y [ x^22 ]y^2^3 , d y = integral0^raiz3 y ( 92 - y^42 ) , d y = integral0^raiz3 ( 9y2 - y^52 ) , d y
Integrando termo a termo:
[ 9y^24 - y^612 ]0^raiz3 = ( 9 cdot 34 - (3)^312 ) - 0 = ( 274 - 2712 ) = 274 - 94 = 184 = 92

Resposta

Somando as duas partes da integral:
-103 + 92 = -20 + 276 = 76
Então, o valor da integral é 76.

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
(a) integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x
Inverta a ordem de integração.
(i) integral0^pi4[integralsen x^cos x f(x, y) d y] d x
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integral0^x^2 sen(x^3) d x d y
Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x / y, D é o quadrilátero delimitado pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2;