Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos entender primeiro a área sobre a qual vamos integrar e depois calcular a integral, possivelmente mudando a ordem de integração para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida para
variando de 1 a 3, e para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos ver como isso fica no plano xy.
- Limites de
: De 1 a 3. - Limites de
para cada : De até .
Então, para cada
entre 1 e 3,
vai de uma linha inclinada (
) até a curva da raiz quadrada (
).
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região de integração. Imagine o gráfico com
no eixo horizontal e
no vertical:
- A linha
começa em e vai até . - A curva
começa em e vai até .
A região de integração é o espaço entre essas duas curvas, de
a
.
Passo 4
Para facilitar a integração, podemos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
- Limites de
: Observando a região, varia de (quando na linha ) até (na curva ). - Limites de
para cada : - Para
, a linha implica . - Para
, a curva implica .
- Para
Então, os novos limites ficam:
- Para
de a : vai de até 3. - Para
de a : vai de até 3.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 6
Primeira parte da integral:
Integramos em
:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Segunda parte da integral:
Integramos em
:
Integrando termo a termo:
Resposta
Somando as duas partes da integral:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(a)
(a)
Inverta a ordem de integração.
(i)
(i)
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o quadrilátero delimitado pelas retas
;