Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x / y, D é o quadrilátero delimitado pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular . A região é um quadrilátero definido pelas retas , , e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração. Vamos fixar integralx=1^2 integraly=x^2x xy , dy , dx entre 1 e 2, e para cada , varia de até . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral xy , dy = x ln(y) + C em relação a . Sabemos que a integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Aplicando os limites de x ln(2x) - x ln(x) = x ln(2xx) = x ln(2) de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1^2 x ln(2) , dx = ln(2) integral1^2 x , dx de 1 a 2:

Passo 6

A integral de ln(2) [ 12(2)^2 - 12(1)^2 ] = ln(2) (2 - 0.5) = ln(2) times 1.5 em relação a é . Aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

32 ln(2)

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