Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integral0^x^2 sen(x^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida por . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos entender a região de integração e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão definidas para variando de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de 0 a . Isso significa que a região está abaixo da parábola no intervalo de de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral iterada. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 ( integral0^x^2 sen(x^3) , dy ) dx :
Como não depende de integral0^1 x^2 sen(x^3) , dx , a integral interna simplesmente multiplica pelo intervalo de , que é :

Passo 4

Para resolver a integral , usamos uma substituição simples. Vamos deixar du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 , então:
integral0^1 sen(u) cdot du3 = 13 integral0^1 sen(u) , du
Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, integramos :
13 [ -cos(u) ]0^1 = 13 ( -cos(1) + cos(0) )
Sabemos que 13 ( -cos(1) + 1 ) = 1 - cos(1)3 , então substituindo:

Resposta

A integral dupla vale .

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Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^3 integral1-x^raizx x y d y d x
Inverta a ordem de integração.
(a) integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x
Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x / y, D é o quadrilátero delimitado pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2;
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais. integral0^2 integralx^2 2 y^2 sen(x y) d y d x