Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida por . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos entender a região de integração e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão definidas para
variando de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de 0 a
. Isso significa que a região está abaixo da parábola
no intervalo de
de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral iterada. Primeiro, integramos em relação a
:
Como não depende de
, a integral interna simplesmente multiplica pelo intervalo de
, que é
:
Passo 4
Para resolver a integral , usamos uma substituição simples. Vamos deixar
, então:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Agora, integramos :
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.
(a)
(a)
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o quadrilátero delimitado pelas retas
;
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.