Inverta a ordem de integração.
(a) integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração de uma integral dupla. O enunciado é:
integral0^1[integral2x^x+1 f(x, y) , dy] dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1. Vamos precisar entender como os limites de integração se relacionam para inverter a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região de integração no plano . Para cada entre 0 e 1, vai de a .

Passo 3

Vamos encontrar os limites para . Quando , varia de 0 a 1. Quando , varia de 2 a 2. Então, vai de 0 a 2.

Passo 4

Agora, para cada valor de 2x <= y <= x + 1 , vamos encontrar os valores de x >= y2 . A partir das inequações:
x >= y - 1
Resolvendo para :
E para :

Passo 5

Então, para cada x >= max(y2, y - 1) , varia entre o maior dos limites inferiores:
E ainda está limitado por .

Passo 6

Vamos considerar os intervalos de x >= y2 :
  1. Para x >= y - 1 :
    E como , o limite inferior é .
  2. Para :
    E quando , mas como , usamos .

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral com a ordem invertida. Dividimos em duas partes:
integral0^1 integraly2^1 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly - 1^1 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^1 [integraly2^1 f(x, y) , dx] dy + integral1^2 [integraly - 1^1 f(x, y) , dx] dy

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
(i) integral0^pi4[integralsen x^cos x f(x, y) d y] d x
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
e) F(x, y) = (e^x sen(y)) i + (e^x cos(y)) j.
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^3 integral1-x^raizx x y d y d x
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integral0^x^2 sen(x^3) d x d y