Inverta a ordem de integração.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! A gente tem que inverter a ordem de integração de uma integral dupla. O enunciado é:
Aqui, estamos integrando
primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1. Vamos precisar entender como os limites de integração se relacionam para inverter a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região de integração no plano
. Para cada
entre 0 e 1,
vai de
a
.
Passo 3
Vamos encontrar os limites para
. Quando
,
varia de 0 a 1. Quando
,
varia de 2 a 2. Então,
vai de 0 a 2.
Passo 4
Agora, para cada valor de
, vamos encontrar os valores de
. A partir das inequações:
Resolvendo
para
:
E
para
:
Passo 5
Então, para cada
,
varia entre o maior dos limites inferiores:
E
ainda está limitado por
.
Passo 6
Vamos considerar os intervalos de
:
-
Para
: E como, o limite inferior é . -
Para
: Equando , mas como , usamos .
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral com a ordem invertida. Dividimos em duas partes:
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(i)
(i)
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
e) .
e)
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.