Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como trocar a ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Originalmente,
varia de 0 a 2 e, para cada
,
varia de
até 2. Isso significa que a região de integração é um triângulo no plano
onde
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar
primeiro. Observando a região, para cada
entre 0 e 2,
varia de 0 até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna . Como
é constante em relação a
, podemos tratar
como uma constante:
A integral de em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral externa:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Resposta
A integral vale .