Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais. integral0^2 integralx^2 2 y^2 sen(x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como trocar a ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Originalmente, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de até 2. Isso significa que a região de integração é um triângulo no plano onde e .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar integral0^2 integral0^y 2 y^2 sen(x y) , dx , dy primeiro. Observando a região, para cada entre 0 e 2, varia de 0 até . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna . Como 2 y^2 integral0^y sen(x y) , dx é constante em relação a 2 y^2 [ -cos(x y)y ]0^y = 2 y^2 ( -cos(y^2)y + cos(0)y ) = 2 y^2 ( 1 - cos(y^2)y ) = 2 y (1 - cos(y^2)) , podemos tratar como uma constante:
A integral de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^2 2 y (1 - cos(y^2)) , dy = 2 integral0^2 y , dy - 2 integral0^2 y cos(y^2) , dy
A primeira integral é simples:
2 integral0^2 y , dy = 2 [ y^22 ]0^2 = 2 times 2 = 4
Para a segunda integral, fazemos uma substituição: seja 2 integral0^2 y cos(y^2) , dy = 2 times 12 integral0^4 cos(u) , du = integral0^4 cos(u) , du = sen(u) g|0^4 = sen(4) - sen(0) = sen(4) , então , ou seja, . Assim:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x / y, D é o quadrilátero delimitado pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2;
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integral0^x^2 sen(x^3) d x d y
Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas x^2 = y, x^2 = 2y, y^2 = x e y^2 = 2 x, usando a mudança de variável x^2 = y u e y^2 = x v.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral0^2 integral0^raiz4-y^2 x^2+y^2 d x d y