Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^pi / 2 integral0^pi / 2(x cos y-y cos x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A gente vai precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como calcular integrais iteradas. Vamos dividir isso em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para simplificar: integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 x cos y , dy , dx - integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 y cos x , dy , dx e . Isso fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral0^pi / 2 x ( integral0^pi / 2 cos y , dy ) dx . Aqui, integral0^pi / 2 x (sin y|0^pi/2) dx = integral0^pi / 2 x (1 - 0) dx = integral0^pi / 2 x , dx é constante em relação a x^22 |0^pi/2 = (pi/2)^22 = pi^28 , então tiramos o para fora:
A integral de em relação a é , então:
Integrando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: -integral0^pi / 2 cos x ( integral0^pi / 2 y , dy ) dx . Aqui, -integral0^pi / 2 cos x ( (pi/2)^22 ) dx = -pi^28 integral0^pi / 2 cos x , dx é constante em relação a -pi^28 (sin x|0^pi/2) = -pi^28 (1 - 0) = -pi^28 , então tiramos para fora:
A integral de em relação a é , então:
Integrando em relação a :

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
pi^28 - pi^28 = 0

Resposta

0

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