Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A gente vai precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como calcular integrais iteradas. Vamos dividir isso em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para simplificar: e . Isso fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral: . Aqui, é constante em relação a , então tiramos o para fora:
A integral de em relação a é , então:
Integrando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral: -integral0^pi / 2 cos x ( integral0^pi / 2 y , dy ) dx . Aqui, -integral0^pi / 2 cos x ( (pi/2)^22 ) dx = -pi^28 integral0^pi / 2 cos x , dx é constante em relação a -pi^28 (sin x|0^pi/2) = -pi^28 (1 - 0) = -pi^28 , então tiramos para fora: