Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região
definida por
e
, e calcular a integral dupla
onde
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender os limites de integração e como representar graficamente a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. Temos duas desigualdades para
:
-
: Essa é a parte de baixo de um círculo de raio 2 centrado na origem, porque representa a semicircunferência inferior de . -
: Essa é uma parábola voltada para baixo, já que a equação é .
Vamos desenhar esses dois gráficos no mesmo sistema de coordenadas para ver onde eles se intersectam e definir melhor a região
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção entre a semicircunferência inferior e a parábola, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação:
- Primeiro, isolamos a raiz:
- Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Expandindo o lado direito:
- Rearranjando os termos:
- Resolvendo a equação quadrática em
:
Então,
ou
, o que nos dá
ou
.
Como nosso intervalo para
é de -1 a 2, os pontos de interseção dentro desse intervalo são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, podemos definir a região
. No intervalo de
de -1 a
,
varia de
a
. De
a 2, apenas a parábola está acima da semicircunferência, então
varia de
a
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Como a função
, a integral representa a área da região
. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, nossa integral se tornou:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira integral:
Avaliamos de -1 a 2:
Para a segunda integral, reconhecemos que
é a área de um semicírculo de raio 2:
Avaliando de -1 a 2:
Resposta
Somando as duas integrais, a área total da região
é:
Portanto, a integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
;
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes integrais:
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.