Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 2 e -raiz4-x^2 <= y <= 4-x^2, f(x, y)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região definida por e , e calcular a integral dupla onde . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender os limites de integração e como representar graficamente a região .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . Temos duas desigualdades para :
  1. : Essa é a parte de baixo de um círculo de raio 2 centrado na origem, porque representa a semicircunferência inferior de .
  2. : Essa é uma parábola voltada para baixo, já que a equação é .
Vamos desenhar esses dois gráficos no mesmo sistema de coordenadas para ver onde eles se intersectam e definir melhor a região .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção entre a semicircunferência inferior e a parábola, igualamos as duas equações:
-raiz4 - x^2 = 4 - x^2
Vamos resolver essa equação:
  1. Primeiro, isolamos a raiz:
raiz4 - x^2 = x^2 - 4
  1. Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
4 - x^2 = (x^2 - 4)^2
  1. Expandindo o lado direito:
4 - x^2 = x^4 - 8x^2 + 16
  1. Rearranjando os termos:
x^4 - 7x^2 + 12 = 0
  1. Resolvendo a equação quadrática em x^2 = 7 pm raiz49 - 482 = 7 pm 12 :
Então, ou , o que nos dá ou .
Como nosso intervalo para é de -1 a 2, os pontos de interseção dentro desse intervalo são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, podemos definir a região . No intervalo de de -1 a , varia de a . De a 2, apenas a parábola está acima da semicircunferência, então varia de a .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Como a função integral duplaD 1 , dA = integral-1^2 integral-raiz4 - x^2^4 - x^2 1 , dy , dx , a integral representa a área da região . Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-raiz4 - x^2^4 - x^2 1 , dy = [ y ]-raiz4 - x^2^4 - x^2 = (4 - x^2) - (-raiz4 - x^2) = 4 - x^2 + raiz4 - x^2 :
integral-1^2 ( 4 - x^2 + raiz4 - x^2 ) dx
Agora, nossa integral se tornou:
integral-1^2 (4 - x^2) dx + integral-1^2 raiz4 - x^2 dx
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
integral (4 - x^2) dx = 4x - x^33
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira integral:
( 4(2) - 2^33 ) - ( 4(-1) - (-1)^33 ) = (8 - 83) - (-4 + 13) = 163 + 113 = 273 = 9
Avaliamos de -1 a 2:
integral raiz4 - x^2 , dx = 12 x raiz4 - x^2 + 2 arcsin(x2)
Para a segunda integral, reconhecemos que [ 12 (2) raiz4 - 4 + 2 arcsin(1) ] - [ 12 (-1) raiz4 - 1 + 2 arcsin(-12) ] = (0 + 2 cdot pi2) - ( -12 cdot raiz3 + 2 cdot (-pi6) ) = pi - ( -raiz32 - pi3 ) = pi + raiz32 + pi3 = 4pi3 + raiz32 é a área de um semicírculo de raio 2:
Avaliando de -1 a 2:

Resposta

Somando as duas integrais, a área total da região 9 + ( 4pi3 + raiz32 ) = 4pi3 + raiz32 + 9 é:
Portanto, a integral dupla é igual a .

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Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1 e 2 x <= y <= 2, f(x, y)=e^y^2;
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^pi / 2 integral0^pi / 2(x cos y-y cos x) d y d x
Calcule as seguintes integrais: integral0^3 integral-2^1(x+y^2+1) d x d y
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^2 integral0^1(x-3 log y) d x d y