Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral1^2 integral0^x 1x^2+y^2 d y d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral1^2 integral0^x 1x^2+y^2 , dy , dx usando coordenadas polares. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral em duas variáveis e a mudança para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As variáveis x variam de 1 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a x. Isso descreve uma região triangular no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Passo 3

Vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
O diferencial de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta. Observando a região triangular:
  • theta varia de 0 a pi4 (45 graus), já que y vai de 0 até x.
  • Para cada theta, r varia de 1cos theta a 2cos theta, pois x varia de 1 a 2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral em coordenadas polares:
integral0^pi4 integral1cos theta^2cos theta 1r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, 1x^2 + y^2 se torna 1r^2 e o diferencial dx , dy se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 6

Simplificando a integral:
integral0^pi4 integral1cos theta^2cos theta 1r , dr , dtheta
Integrando em relação a r:
integral0^pi4 [ ln r ]1cos theta^2cos theta dtheta = integral0^pi4 ( ln ( 2cos theta ) - ln ( 1cos theta ) ) dtheta
Isso simplifica para:
integral0^pi4 ln 2 , dtheta = ln 2 cdot pi4

Resposta

A integral dupla avaliada é pi4 ln 2.

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