Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral em duas variáveis e a mudança para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As variáveis
variam de 1 a 2 e, para cada
,
varia de 0 a
. Isso descreve uma região triangular no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Passo 3
Vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde:
O diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a região triangular:
-
varia de a (45 graus), já que vai de 0 até . - Para cada
, varia de a , pois varia de 1 a 2.
Passo 5
Substituindo tudo na integral em coordenadas polares:
Aqui,
se torna
e o diferencial
se transforma em
.
Passo 6
Simplificando a integral:
Integrando em relação a
:
Isso simplifica para:
Resposta
A integral dupla avaliada é
.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é a região delimitada por
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
;