Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região D, que é limitada por
,
,
e
. Isso é um problema de cálculo de área usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região D. A função
simplifica nossa integral para calcular apenas a área da região D. Então, nosso objetivo é encontrar os limites de integração no plano xy.
Passo 3
Vamos desenhar as curvas que delimitam D:
-
: uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°. -
: o eixo x. -
: uma linha vertical em x = 5. -
: uma hipérbole.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção:
- Onde
e : substituindo, → → . Então, o ponto é (4, 4). - Onde
e : não tem solução, então não há interseção nesse caso.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
variando de 4 a 5. - Para cada
, varia de 0 até , já que .
Passo 6
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 9
A integral de
é o logaritmo natural:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.