Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=1, D é a região delimitada por y=x, y=0, x=5 e x y=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de f(x, y) = 1 sobre a região D, que é limitada por y = x, y = 0, x = 5 e xy = 16. Isso é um problema de cálculo de área usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A função f(x, y) = 1 simplifica nossa integral para calcular apenas a área da região D. Então, nosso objetivo é encontrar os limites de integração no plano xy.

Passo 3

Vamos desenhar as curvas que delimitam D:
  • y = x: uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • y = 0: o eixo x.
  • x = 5: uma linha vertical em x = 5.
  • xy = 16: uma hipérbole.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Onde y = x e xy = 16: substituindo, x cdot x = 16 x^2 = 16 x = 4. Então, o ponto é (4, 4).
  • Onde y = 0 e xy = 16: x cdot 0 = 16 não tem solução, então não há interseção nesse caso.

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para x variando de 4 a 5.
  • Para cada x, y varia de 0 até y = 16x, já que xy = 16.

Passo 6

Então, nossa integral fica:
integral duplaD 1 , dA = integralx=4^5 integraly=0^16x 1 , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^16x 1 , dy = [ y ]0^16x = 16x

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
integral4^5 16x , dx = 16 integral4^5 1x , dx

Passo 9

A integral de 1/x é o logaritmo natural:
16 [ ln|x| ]4^5 = 16 (ln 5 - ln 4) = 16 ln(54)

Resposta

A integral dupla vale 16 ln(dfrac54).

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