Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1 e 2 x <= y <= 2, f(x, y)=e^y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar a região no plano e depois calcular a integral dupla , onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria para desenhar a região e de cálculo integral para configurar e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
  • : isso significa que varia de 0 a 1.
  • : para cada valor de , começa em e vai até 2.
Vamos desenhar isso no plano :
  • Quando , varia de a .
  • Quando , varia de a , ou seja, apenas o ponto .
A linha é uma reta que começa na origem e vai até o ponto . A linha é uma reta horizontal. Então, a região é um trapézio com vértices em , , e .

Passo 3

Agora que temos a região integralx=0^1 integraly=2x^2 e^y^2 , dy , dx identificada, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla representa a soma dos valores de em cada ponto da região .
Como varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 2, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos agora resolver a integral interna . Infelizmente, a função não possui uma antiderivada expressa em funções elementares, ou seja, não podemos integrar diretamente de forma simples.
Nesse caso, utilizamos a função erro , que está relacionada à integral de . No entanto, como temos , precisamos recorrer a métodos numéricos ou aceitar que a integral será expressa em termos de funções especiais.

Passo 5

Como a integral exata não é facilmente obtida, vamos optar por uma abordagem numérica para aproximar o valor da integral dupla. Podemos utilizar métodos de integração numérica, como o método dos retângulos ou a regra de Simpson, para calcular a integral interna e depois integrar o resultado em relação a integral duplaD e^y^2 , dA = integral0^1 ( integral2x^2 e^y^2 , dy ) dx .
Porém, para fins de resposta aqui, vamos expressar a integral dupla no seu estado configurado:

Resposta

A integral dupla integral0^1 ( integral2x^2 e^y^2 , dy ) dx está configurada como:
Para obter o valor numérico, seria necessário utilizar métodos de integração numérica ou ferramentas computacionais.

Exercícios relacionados

Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^pi / 2 integral0^pi / 2(x cos y-y cos x) d y d x
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral1^2 integral0^x 1x^2+y^2 d y d x
Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 2 e -raiz4-x^2 <= y <= 4-x^2, f(x, y)=1.
Calcule as seguintes integrais: integral0^3 integral-2^1(x+y^2+1) d x d y