Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar a região
no plano
e depois calcular a integral dupla
, onde
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria para desenhar a região e de cálculo integral para configurar e resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
-
: isso significa que varia de 0 a 1. -
: para cada valor de , começa em e vai até 2.
Vamos desenhar isso no plano
:
- Quando
, varia de a . - Quando
, varia de a , ou seja, apenas o ponto .
A linha
é uma reta que começa na origem e vai até o ponto
. A linha
é uma reta horizontal. Então, a região
é um trapézio com vértices em
,
,
e
.
Passo 3
Agora que temos a região
identificada, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla
representa a soma dos valores de
em cada ponto da região
.
Como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 2, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos agora resolver a integral interna
. Infelizmente, a função
não possui uma antiderivada expressa em funções elementares, ou seja, não podemos integrar diretamente de forma simples.
Nesse caso, utilizamos a função erro
, que está relacionada à integral de
. No entanto, como temos
, precisamos recorrer a métodos numéricos ou aceitar que a integral será expressa em termos de funções especiais.
Passo 5
Como a integral exata não é facilmente obtida, vamos optar por uma abordagem numérica para aproximar o valor da integral dupla. Podemos utilizar métodos de integração numérica, como o método dos retângulos ou a regra de Simpson, para calcular a integral interna e depois integrar o resultado em relação a
.
Porém, para fins de resposta aqui, vamos expressar a integral dupla no seu estado configurado:
Resposta
A integral dupla
está configurada como:
Para obter o valor numérico, seria necessário utilizar métodos de integração numérica ou ferramentas computacionais.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
.
Calcule as seguintes integrais: