Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^2 integral0^1(x-3 log y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração e calcular a integral iterada . Isso envolve entender integrais duplas, como configurar os limites de integração e, se necessário, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos variando de 1 a 2 e, para cada valor de , varia de 0 a 1. Isso descreve um retângulo no plano , onde vai de 0 a 1 e de 1 a 2.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral iterada conforme dado: . Vamos integrar primeiro em relação a , mantendo constante.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna . Integramos termo por termo:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
.

Passo 6

Vamos separar a integral:
.

Passo 7

Calculamos cada parte:
  • Para , usamos integração por partes:
    • Seja e , então e .
    • Aplicando integração por partes: .
    • Avaliando de 1 a 2:
      • Em :
      • Em :
      • Diferença:

Passo 8

Voltando à integral principal:
.

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais: integral0^3 integral-2^1(x+y^2+1) d x d y
Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 2 e -raiz4-x^2 <= y <= 4-x^2, f(x, y)=1.
Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= y <= 8 e raiz[3]y <= x <= 2, f(x, y)=x y;
Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x^2+y^2, D é o triângulo de vértices (0,0),(0,2) e (2,0);