Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^2 integral0^1(x-3 log y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração e calcular a integral iterada . Isso envolve entender integrais duplas, como configurar os limites de integração e, se necessário, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos variando de 1 a 2 e, para cada valor de , varia de 0 a 1. Isso descreve um retângulo no plano , onde vai de 0 a 1 e de 1 a 2.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral iterada conforme dado: . Vamos integrar primeiro em relação a , mantendo constante.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna . Integramos termo por termo:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
.

Passo 6

Vamos separar a integral:
.

Passo 7

Calculamos cada parte:
  • Para , usamos integração por partes:
    • Seja e , então e .
    • Aplicando integração por partes: .
    • Avaliando de 1 a 2:
      • Em :
      • Em :
      • Diferença:

Passo 8

Voltando à integral principal:
.

Resposta

A integral iterada vale .

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