Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração e calcular a integral iterada
. Isso envolve entender integrais duplas, como configurar os limites de integração e, se necessário, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos
variando de 1 a 2 e, para cada valor de
,
varia de 0 a 1. Isso descreve um retângulo no plano
, onde
vai de 0 a 1 e
de 1 a 2.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral iterada conforme dado:
. Vamos integrar primeiro em relação a
, mantendo
constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna
. Integramos termo por termo:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
.
Passo 6
Vamos separar a integral:
.
Passo 7
Calculamos cada parte:
-
- Para
, usamos integração por partes: - Seja
e , então e . - Aplicando integração por partes:
. - Avaliando de 1 a 2:
- Em
: - Em
: - Diferença:
- Em
- Seja
Passo 8
Voltando à integral principal:
.
Resposta
A integral iterada vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
.
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
,
;
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
;