Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x^2+y^2, D é o triângulo de vértices (0,0),(0,2) e (2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é um triângulo com vértices em , e . Isso significa que os limites de vão de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até a linha que conecta a .

Passo 3

Vamos determinar a equação da reta que forma o lado do triângulo de m = 0 - 22 - 0 = -1 a y = -x + 2 . A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso nos dá o limite superior para em termos de .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla. Como integral duplaD (x^2 + y^2) , dA = integral0^2 integral0^-x + 2 (x^2 + y^2) , dy , dx varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^-x + 2 (x^2 + y^2) , dy = x^2 cdot y + y^33 g|0^-x + 2
Substituindo os limites:
x^2(-x + 2) + (-x + 2)^33
Agora, simplificamos e integramos em relação a integral0^2 [ x^2(-x + 2) + (-x + 2)^33 ] , dx :
Após realizar os cálculos, encontramos o valor da integral.

Resposta

A integral dupla vale .

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