Calcule em cada um dos seguintes casos: , D é o triângulo de vértices e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela é um triângulo com vértices em , e . Isso significa que os limites de vão de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até a linha que conecta a .
Passo 3
Vamos determinar a equação da reta que forma o lado do triângulo de a . A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso nos dá o limite superior para em termos de .
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla. Como varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a , a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:
x^2(-x + 2) + (-x + 2)^33
Agora, simplificamos e integramos em relação a integral0^2 [ x^2(-x + 2) + (-x + 2)^33 ] , dx :
Após realizar os cálculos, encontramos o valor da integral.