Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= y <= 8 e raiz[3]y <= x <= 2, f(x, y)=x y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa esboçar a região e calcular a integral dupla , onde . Para isso, vamos usar o conhecimento de integrais duplas e entender bem a região de integração .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D = (x, y) in R^2 : 0 <= y <= 8 e raiz[3]y <= x <= 2 . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 a 8, e para cada valor de , varia desde a raiz cúbica de até 2. Vamos esboçar isso no plano .

Passo 3

Para esboçar a região, vamos plotar as curvas que definem os limites de :
  1. : Essa é a função raiz cúbica que passa pela origem e cresce à medida que aumenta.
  2. : Esta é uma linha vertical em .
Quando , varia de 0 a 2. Quando , varia de 2 ( ) a 2, ou seja, apenas o ponto . Assim, a região é uma espécie de “faixa” entre a curva e a linha , de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região integral duplaD f(x, y) , dA = integrala^b integralc(y)^d(y) f(x, y) , dx , dy é:
integral duplaD x y , dA = integral0^8 integralraiz[3]y^2 x y , dx , dy
No nosso caso:
  • , (limites de )
  • , (limites de para cada )
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integralraiz[3]y^2 x y , dx :
y integralraiz[3]y^2 x , dx = y [ 12 x^2 ]raiz[3]y^2 = y ( 12 (2)^2 - 12 (raiz[3]y)^2 ) = y ( 2 - 12 y^2/3 )
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^8 ( 2 y - 12 y^5/3 ) dy :
2 integral0^8 y , dy - 12 integral0^8 y^5/3 , dy
Vamos separar as integrais:
2 [ 12 y^2 ]0^8 = 2 ( 12 cdot 64 ) = 2 cdot 32 = 64
Calculando cada uma:
12 [ 38 y^8/3 ]0^8 = 12 cdot 38 cdot 8^8/3 = 316 cdot 16 = 3
64 - 3 = 61
Então, a integral total é:

Resposta

A integral dupla é igual a 61.

Exercícios relacionados

Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^2 integral0^1(x-3 log y) d x d y
Calcule as seguintes integrais: integral0^3 integral-2^1(x+y^2+1) d x d y
Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=x^2+y^2, D é o triângulo de vértices (0,0),(0,2) e (2,0);
Calcule integral duplaD sen(x-yx+y) d x d y sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices A=(1,1), B=(2,2), C=(4,0) e D=(2,0).