Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
,
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa esboçar a região
e calcular a integral dupla
, onde
. Para isso, vamos usar o conhecimento de integrais duplas e entender bem a região de integração
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 0 a 8, e para cada valor de
,
varia desde a raiz cúbica de
até 2. Vamos esboçar isso no plano
.
Passo 3
Para esboçar a região, vamos plotar as curvas que definem os limites de
:
-
: Essa é a função raiz cúbica que passa pela origem e cresce à medida que aumenta. -
: Esta é uma linha vertical em .
Quando
,
varia de 0 a 2. Quando
,
varia de 2 (
) a 2, ou seja, apenas o ponto
. Assim, a região
é uma espécie de “faixa” entre a curva
e a linha
, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região
é:
No nosso caso:
-
, (limites de ) -
, (limites de para cada )
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
para fora:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Calculando cada uma:
Então, a integral total é:
Resposta
A integral dupla
é igual a 61.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
;
Calcule
sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices
e
.