Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais duplas, que são usadas pra calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante enquanto fazemos essa parte. A ideia aqui é encontrar a antiderivada de
com relação a
.
Passo 3
A integral de
em relação a
é
. A integral de
em relação a
é
(já que
é constante em relação a
), e a integral de
em relação a
é
. Então, juntando tudo, a antiderivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Simplificando cada parte:
Para
:
Para
:
Então, a diferença fica:
Passo 5
Agora que temos
, vamos integrar isso em relação a
de 0 a 3:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, a antiderivada fica:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
.
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
;
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Esboce a região D e calcule a integral dupla
.
e
,
;