Calcule as seguintes integrais: integral0^3 integral-2^1(x+y^2+1) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais duplas, que são usadas pra calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante enquanto fazemos essa parte. A ideia aqui é encontrar a antiderivada de com relação a .

Passo 3

A integral de 12x^2 + y^2x + x em relação a é . A integral de em relação a é (já que é constante em relação a ), e a integral de em relação a é . Então, juntando tudo, a antiderivada de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de [12(1)^2 + y^2(1) + 1] - [12(-2)^2 + y^2(-2) + (-2)] a 12(1) + y^2(1) + 1 = 12 + y^2 + 1 :
12(4) + y^2(-2) - 2 = 2 - 2y^2 - 2
Simplificando cada parte:
Para (12 + y^2 + 1) - (2 - 2y^2 - 2) = 12 + y^2 + 1 - 2 + 2y^2 + 2 = 3y^2 + 12 :
Para :
Então, a diferença fica:

Passo 5

Agora que temos integral0^3 (3y^2 + 12) , dy , vamos integrar isso em relação a y^3 + 12y de 0 a 3:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, a antiderivada fica:

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de [3^3 + 12(3)] - [0^3 + 12(0)] = [27 + 32] - [0 + 0] = 27 + 1,5 = 28,5 a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 2 e -raiz4-x^2 <= y <= 4-x^2, f(x, y)=1.
Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1 e 2 x <= y <= 2, f(x, y)=e^y^2;
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral1^2 integral0^1(x-3 log y) d x d y
Esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. D=(x, y) in R^2: 0 <= y <= 8 e raiz[3]y <= x <= 2, f(x, y)=x y;