Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integralx^3^x^2 x y d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender a região de integração e, se for mais fácil, inverter a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. No plano , temos variando de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Então, desenhamos as curvas e . Dentro desses limites, a região de integração está entre essas duas curvas para de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral na ordem dada:
integral0^1 integralx^3^x^2 x y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integralx^3^x^2 x y , dy = x [ y^22 ]x^3^x^2 = x ( (x^2)^22 - (x^3)^22 ) = x ( x^4 - x^62 ) = x^5 - x^72 :

Passo 4

Em seguida, integramos em relação a integral0^1 x^5 - x^72 , dx = 12 ( integral0^1 x^5 , dx - integral0^1 x^7 , dx ) :
integral0^1 x^5 , dx = [ x^66 ]0^1 = 16
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 x^7 , dx = [ x^88 ]0^1 = 18

Passo 5

Substituindo os resultados de volta na expressão:
12 ( 16 - 18 ) = 12 ( 424 - 324 ) = 12 ( 124 ) = 148

Resposta

O valor da integral dupla é .

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