Calcule as seguintes integrais: integralpi^2 pi integral0^pi sen x+cos y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla da função sin x + cos y, onde x vai de 0 a pi e y vai de pi a 2pi. Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar o volume sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar usar as regras de integração tanto para x quanto para y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Basicamente, a gente integra uma variável de cada vez. Nesse caso, vamos integrar primeiro em relação a x mantendo y constante, e depois integrar o resultado em relação a y.
Então, a integral fica assim:
integralpi^2pi ( integral0^pi (sin x + cos y) , dx ) dy

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integral0^pi (sin x + cos y) , dx
Aqui, cos y é uma constante quando estamos integrando em relação a x. Então, podemos separar a integral:
integral0^pi sin x , dx + integral0^pi cos y , dx

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de sin x:
integral0^pi sin x , dx = -cos x |0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2
Agora, a integral de cos y em relação a x:
integral0^pi cos y , dx = cos y cdot x |0^pi = cos y cdot pi - cos y cdot 0 = pi cos y

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais internas:
integral0^pi (sin x + cos y) , dx = 2 + pi cos y
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integralpi^2pi (2 + pi cos y) , dy

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a y:
integralpi^2pi 2 , dy + integralpi^2pi pi cos y , dy
Primeiro, a integral de 2:
2 cdot (2pi - pi) = 2 cdot pi = 2pi
Agora, a integral de pi cos y:
pi integralpi^2pi cos y , dy = pi cdot (sin y) |pi^2pi = pi (sin 2pi - sin pi) = pi (0 - 0) = 0

Resposta

Somando as duas partes, temos:
2pi + 0 = 2pi
Então, a integral dupla é igual a 2pi.

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