Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla da função , onde vai de a e vai de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar o volume sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar usar as regras de integração tanto para quanto para .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Basicamente, a gente integra uma variável de cada vez. Nesse caso, vamos integrar primeiro em relação a mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .
Então, a integral fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Aqui, é uma constante quando estamos integrando em relação a . Então, podemos separar a integral:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de :
Agora, a integral de cos y em relação a x:
integral0^pi cos y , dx = cos y cdot x |0^pi = cos y cdot pi - cos y cdot 0 = pi cos y
Passo 5
Agora, juntando os resultados das integrais internas:
integral0^pi (sin x + cos y) , dx = 2 + pi cos y
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integralpi^2pi (2 + pi cos y) , dy
Passo 6
Vamos agora integrar em relação a y:
integralpi^2pi 2 , dy + integralpi^2pi pi cos y , dy
Primeiro, a integral de 2:
2 cdot (2pi - pi) = 2 cdot pi = 2pi
Agora, a integral de pi cos y:
pi integralpi^2pi cos y , dy = pi cdot (sin y) |pi^2pi = pi (sin 2pi - sin pi) = pi (0 - 0) = 0