Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla da função , onde vai de a e vai de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar o volume sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar usar as regras de integração tanto para quanto para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como resolver uma integral dupla. Basicamente, a gente integra uma variável de cada vez. Nesse caso, vamos integrar primeiro em relação a mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .
Então, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Aqui, é uma constante quando estamos integrando em relação a . Então, podemos separar a integral:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de :
Agora, a integral de em relação a :

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais internas:
Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a :
Primeiro, a integral de :
Agora, a integral de :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Então, a integral dupla é igual a .

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Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Calcule as seguintes integrais: .
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.