Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais. integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para invertermos a ordem de integração da seguinte integral:
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y , dy , dx
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla sobre uma região no plano xy. Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração e então ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 2, e para cada , varia de 0 a . Isso descreve uma região abaixo da parábola no intervalo de a .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que seja a variável externa e a interna. Precisamos determinar os novos limites para em termos de .
Sabemos que varia de 0 a (já que quando , ). Para cada , varia de 0 até , pois da equação , isolamos obtendo .

Passo 4

Com isso, a integral invertida fica assim:
integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^2 y4 - y , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação ao e^2 y4 - y integral0^raiz4 - y x , dx. A expressão a integrar é . Como é tratado como constante nessa integração, podemos simplificar:

Passo 6

Vamos calcular a integral de integral x , dx = x^22 em relação a (raiz4 - y)^22 - 0^22 = 4 - y2:
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
e^2 y4 - y cdot 4 - y2 = e^2 y2

Passo 8

Agora, a integral fica mais simples:
integral0^4 e^2 y2 , dy
Podemos fatorar o 12 integral0^4 e^2 y , dy para facilitar:

Passo 9

Integrando integral e^2 y , dy = e^2 y2 em relação a e^2 cdot 42 - e^2 cdot 02 = e^82 - 12:
Aplicando os limites de a :

Passo 10

Multiplicando pelo fator 12 ( e^82 - 12 ) = e^84 - 14:

Resposta

A integral calculada é:
e^84 - 14

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