Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para invertermos a ordem de integração da seguinte integral:
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla sobre uma região no plano xy. Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração e então ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 2, e para cada , varia de 0 a . Isso descreve uma região abaixo da parábola no intervalo de a .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que seja a variável externa e a interna. Precisamos determinar os novos limites para em termos de .
Sabemos que varia de 0 a (já que quando , ). Para cada , varia de 0 até , pois da equação , isolamos obtendo .

Passo 4

Com isso, a integral invertida fica assim:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação ao . A expressão a integrar é . Como é tratado como constante nessa integração, podemos simplificar:

Passo 6

Vamos calcular a integral de em relação a :
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 8

Agora, a integral fica mais simples:
Podemos fatorar o para facilitar:

Passo 9

Integrando em relação a :
Aplicando os limites de a :

Passo 10

Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral calculada é:

Exercícios relacionados

Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes integrais:
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: .
Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .