Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para invertermos a ordem de integração da seguinte integral:
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla sobre uma região no plano xy. Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração e então ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
. Isso descreve uma região abaixo da parábola
no intervalo de
a
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que
seja a variável externa e
a interna. Precisamos determinar os novos limites para
em termos de
.
Sabemos que
varia de 0 a
(já que quando
,
). Para cada
,
varia de 0 até
, pois da equação
, isolamos
obtendo
.
Passo 4
Com isso, a integral invertida fica assim:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação ao
. A expressão a integrar é
. Como
é tratado como constante nessa integração, podemos simplificar:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 8
Agora, a integral fica mais simples:
Podemos fatorar o
para facilitar:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral calculada é:
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes integrais:
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
.
Usando a mudança de variável
e
, calcule
onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e
.