Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral dupla, ou seja, uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com mudança na ordem de integração. Pra resolver isso, precisamos entender como trocar as ordens de integração e depois calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Temos que
varia de 0 até
, e
varia de 0 até 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de tal forma que
seja em função de
. Observando a região, para um valor fixo de
,
varia de
até 1. Portanto, a nova ordem de integração será:
Passo 4
Vamos agora calcular a integral interna em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirar da integral:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples:
Então, avaliando de
a
:
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
:
Vamos separar as duas integrais:
Passo 6
Primeiro, calculamos
. Usamos integração por partes, onde:
Então:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 7
Agora, calculamos
. Fazemos uma substituição:
Então, a integral fica:
Passo 8
Voltando à expressão original:
Podemos simplificar:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule as seguintes integrais:
.
Calcule a integral.
Calcule as seguintes integrais:
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.