Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais. integral0^1 integral0^y x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral dupla, ou seja, uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
integral0^1 integral0^y x^2 e^x y , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com mudança na ordem de integração. Pra resolver isso, precisamos entender como trocar as ordens de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos que varia de 0 até , e varia de 0 até 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de tal forma que integral0^1 integralx^1 x^2 e^x y , dy , dx seja em função de . Observando a região, para um valor fixo de , varia de até 1. Portanto, a nova ordem de integração será:

Passo 4

Vamos agora calcular a integral interna em relação a integralx^1 x^2 e^x y , dy :
x^2 integralx^1 e^x y , dy
Aqui, integral e^x y , dy = 1x e^x y é constante em relação a x^2 ( 1x e^x cdot 1 - 1x e^x cdot x ) = x^2 ( e^xx - e^x^2x ) = x ( e^x - e^x^2 ) , então podemos tirar da integral:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples:
Então, avaliando de a :

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral0^1 x ( e^x - e^x^2 ) , dx :
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx
Vamos separar as duas integrais:

Passo 6

Primeiro, calculamos u = x Rightarrow du = dx . Usamos integração por partes, onde:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Então:
[1 cdot e^1 - e^1] - [0 cdot e^0 - e^0] = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, calculamos u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Fazemos uma substituição:
12 integral0^1 e^u , du = 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)
Então, a integral fica:

Passo 8

Voltando à expressão original:
integral0^1 x ( e^x - e^x^2 ) , dx = 1 - 12 (e - 1) = 1 - e2 + 12 = 32 - e2
Podemos simplificar:
3 - e2

Resposta

A integral vale .

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