Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral dupla, ou seja, uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com mudança na ordem de integração. Pra resolver isso, precisamos entender como trocar as ordens de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos que varia de 0 até , e varia de 0 até 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de tal forma que seja em função de . Observando a região, para um valor fixo de , varia de até 1. Portanto, a nova ordem de integração será:

Passo 4

Vamos agora calcular a integral interna em relação a :
Aqui, é constante em relação a , então podemos tirar da integral:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples:
Então, avaliando de a :

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a :
Vamos separar as duas integrais:

Passo 6

Primeiro, calculamos . Usamos integração por partes, onde:
Então:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, calculamos . Fazemos uma substituição:
Então, a integral fica:

Passo 8

Voltando à expressão original:
Podemos simplificar:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as seguintes integrais: .
Calcule a integral.
Calcule as seguintes integrais:
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.