Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício é:
Vamos precisar entender coordenadas polares e como transformar integrais nessa nova coordenada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de
vão de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Como estamos lidando com um círculo, coordenadas polares são perfeitas! Nas coordenadas polares:
A área diferencial
em coordenadas polares é:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Substituindo
e
:
Então, a integral fica:
Aqui,
vai de 0 a 1 (raio do círculo) e
vai de 0 a
(ângulo completo).
Passo 5
Vamos primeiro resolver a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
. A integral se transforma em:
Que é fácil de integrar.
Passo 6
Integrando
:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Usando a mudança de variável
e
, calcule
onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: