Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 2(1+x^2+y^2)^2 d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício é:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 2(1+x^2+y^2)^2 , dy , dx
Vamos precisar entender coordenadas polares e como transformar integrais nessa nova coordenada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de vão de a e, para cada , varia de a . Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Como estamos lidando com um círculo, coordenadas polares são perfeitas! Nas coordenadas polares:
x = r costheta e y = r sintheta
A área diferencial dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Substituindo 1 + x^2 + y^2 = 1 + r^2 e integral0^2pi integral0^1 2(1 + r^2)^2 cdot r , dr , dtheta :
Então, a integral fica:
Aqui, vai de 0 a 1 (raio do círculo) e vai de 0 a (ângulo completo).

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral em relação a integral0^1 2r(1 + r^2)^2 , dr :
integral1^2 1u^2 , du
Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:
Que é fácil de integrar.

Passo 6

Integrando integral 1u^2 , du = -1u + C :
-12 + 1 = 12
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi :

Resposta

O valor da integral é .

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