Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício é:
Vamos precisar entender coordenadas polares e como transformar integrais nessa nova coordenada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de vão de a e, para cada , varia de a . Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Como estamos lidando com um círculo, coordenadas polares são perfeitas! Nas coordenadas polares:
A área diferencial em coordenadas polares é:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Substituindo e :
Então, a integral fica:
Aqui, vai de 0 a 1 (raio do círculo) e vai de 0 a (ângulo completo).

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral em relação a :
Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:
Que é fácil de integrar.

Passo 6

Integrando :
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: