Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
ointpartial S F cdot d X=integralS rot F cdot d S=integralS(nabla times F) cdot d S,
onde partial S e S estão orientados pelo vetor normal exterior.
F(x, y, z)=(y, z, x) e S: z=1-x^2-y^2, z >= 0;

Passo 1

Então, a gente vai testar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e para a superfície definida por , onde . O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de ao redor da fronteira de com a integral de superfície do rotacional de sobre . Para isso, vamos precisar calcular ambas as integrais e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , que é dado por:
nabla times F = ( partial xpartial y - partial zpartial z, partial ypartial z - partial xpartial x, partial zpartial x - partial ypartial y ) = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)
Para o nosso campo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de integralS (nabla times F) cdot d S sobre x = r cos theta, y = r sin theta, z = 1 - r^2 :
d S = raiz( partial zpartial r )^2 + ( partial zpartial theta )^2 + 1 , r , d r , d theta = raiz( -2r )^2 + 0 + 1 , r , d r , d theta = raiz4r^2 + 1 , r , d r , d theta
Para isso, precisamos parametrizar a superfície integral0^2pi integral0^1 (-1, -1, -1) cdot (2rcostheta, 2rsintheta, 1) , r , d r , d theta . Como -1 cdot 2rcostheta + (-1) cdot 2rsintheta + (-1) cdot 1 = -2rcostheta - 2rsintheta -1 é definida por integral0^2pi integral0^1 (-2rcostheta - 2rsintheta -1) , r , d r , d theta , que é uma parábola invertida, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração:
integral0^2pi integral0^1 (-1) cdot r , d r , d theta = - integral0^2pi [ 12 r^2 ]0^1 d theta = - integral0^2pi 12 , d theta = - 12 cdot 2pi = -pi
O elemento de área em coordenadas polares fica:
Porém, para simplificar, podemos notar que a orientação da superfície é para cima e o vetor normal é . Assim, a integral fica:
Calculando o produto escalar:
Integrando:
As integrais das funções e de a são zero, então sobra:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira x = costheta, y = sintheta, z = 0, theta in [0, 2pi] . A fronteira de d r = (-sintheta, costheta, 0) , d theta é o círculo definido por ointpartial S F cdot d r = integral0^2pi (y, z, x) cdot (-sintheta, costheta, 0) , d theta = integral0^2pi (sintheta)(-sintheta) + (0)(costheta) + (costheta)(0) , d theta = -integral0^2pi sin^2theta , d theta e integral0^2pi sin^2theta , d theta = pi . Podemos parametrizar esse círculo usando coordenadas polares:
ointpartial S F cdot d r = -pi
O vetor diferencial é:
Substituindo na integral de linha:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Ambas as integrais, a de superfície e a de linha, resultaram em . Isso confirma que o Teorema de Stokes é válido para o campo vetorial e para a superfície definida por , onde .

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