Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
onde
e
estão orientados pelo vetor normal exterior.
e
;
Passo 1
Então, a gente vai testar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e para a superfície
definida por
, onde
. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de
ao redor da fronteira de
com a integral de superfície do rotacional de
sobre
. Para isso, vamos precisar calcular ambas as integrais e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Para o nosso campo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
:
Para isso, precisamos parametrizar a superfície
. Como
é definida por
, que é uma parábola invertida, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração:
O elemento de área
em coordenadas polares fica:
Porém, para simplificar, podemos notar que a orientação da superfície é para cima e o vetor normal é
. Assim, a integral fica:
Calculando o produto escalar:
Integrando:
As integrais das funções
e
de
a
são zero, então sobra:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira
. A fronteira de
é o círculo definido por
e
. Podemos parametrizar esse círculo usando coordenadas polares:
O vetor diferencial
é:
Substituindo na integral de linha:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Ambas as integrais, a de superfície e a de linha, resultaram em
. Isso confirma que o Teorema de Stokes é válido para o campo vetorial
e para a superfície
definida por
, onde
.