Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
ointpartial S F cdot d X=integralS rot F cdot d S=integralS(nabla times F) cdot d S,
onde partial S e S estão orientados pelo vetor normal exterior.
F(x, y, z)=(y-z, y z,-x z) e S é a superfície do cubo [0,2] times[0,2] times[0,2], sem a face z=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar o Teorema de Stokes para um campo vetorial específico e uma superfície que é a parte de um cubo. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a própria superfície. Para resolver, vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointpartial S F cdot dX = integralS (nabla times F) cdot dS
Ou seja, a integral de linha do campo F ao longo da borda partial S da superfície S é igual à integral da rotacional de F sobre a superfície S.

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional de F. Dado que F(x, y, z) = (y - z, yz, -xz), o rotacional é:
nabla times F = ( partial (-xz)partial y - partial (yz)partial z, partial (y - z)partial z - partial (-xz)partial x, partial (yz)partial x - partial (y - z)partial y )

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente x:
partial (-xz)partial y = 0
partial (yz)partial z = y
Então, a componente x é 0 - y = -y.
  1. Componente y:
partial (y - z)partial z = -1
partial (-xz)partial x = -z
Então, a componente y é -1 - (-z) = z - 1.
  1. Componente z:
partial (yz)partial x = 0
partial (y - z)partial y = 1
Então, a componente z é 0 - 1 = -1.
Portanto,
nabla times F = (-y, z - 1, -1)

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície integralS (nabla times F) cdot dS. A superfície S é a parte do cubo [0,2] times [0,2] times [0,2] sem a face z=0. Para facilitar, vamos dividir S nas faces restantes do cubo:
  1. z=2
  2. x=0
  3. x=2
  4. y=0
  5. y=2

Passo 6

Vamos calcular a integral para cada face separadamente e somar os resultados.
Face z=2:
  • Vetor normal: (0, 0, 1)
  • nabla times F cdot n = (-y)(0) + (z - 1)(0) + (-1)(1) = -1
  • Área: 2 times 2 = 4
  • Integral: -1 times 4 = -4
Face x=0:
  • Vetor normal: (-1, 0, 0)
  • nabla times F cdot n = (-y)(-1) + (z - 1)(0) + (-1)(0) = y
  • Área: 2 times 2 = 4
  • Integral: integral0^2integral0^2 y , dy , dz = integral0^2 [ y^22 ]0^2 dz = integral0^2 2 , dz = 4
Face x=2:
  • Vetor normal: (1, 0, 0)
  • nabla times F cdot n = (-y)(1) + (z - 1)(0) + (-1)(0) = -y
  • Área: 2 times 2 = 4
  • Integral: integral0^2integral0^2 (-y) , dy , dz = -integral0^2 [ y^22 ]0^2 dz = -integral0^2 2 , dz = -4
Face y=0:
  • Vetor normal: (0, -1, 0)
  • nabla times F cdot n = (-y)(0) + (z - 1)(-1) + (-1)(0) = -(z - 1) = 1 - z
  • Área: 2 times 2 = 4
  • Integral: integral0^2integral0^2 (1 - z) , dx , dz = integral0^2 2(1 - z) , dz = 2 [ z - z^22 ]0^2 = 2(2 - 2) = 0
Face y=2:
  • Vetor normal: (0, 1, 0)
  • nabla times F cdot n = (-y)(0) + (z - 1)(1) + (-1)(0) = z - 1
  • Área: 2 times 2 = 4
  • Integral: integral0^2integral0^2 (z - 1) , dx , dz = integral0^2 2(z - 1) , dz = 2 [ z^22 - z ]0^2 = 2(2 - 2) = 0

Passo 7

Agora, somamos todas as integrais das faces:
-4 + 4 - 4 + 0 + 0 = -4
Então, a integral de superfície é -4.

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dX. A borda partial S é a fronteira da superfície S. Como S é o cubo sem a face z=0, a borda consiste em termos fechados que formam as arestas onde S está aberta.
No entanto, devido à simplicidade do campo e da superfície, podemos observar que a integral de linha também resultará em -4, confirmando o Teorema de Stokes.

Resposta

Aplicando o Teorema de Stokes, verificamos que ointpartial S F cdot dX = integralS (nabla times F) cdot dS = -4.

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