Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
onde
e
estão orientados pelo vetor normal exterior.
e
é a superfície do cubo
, sem a face
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar o Teorema de Stokes para um campo vetorial específico e uma superfície que é a parte de um cubo. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a própria superfície. Para resolver, vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha do campo
ao longo da borda
da superfície
é igual à integral da rotacional de
sobre a superfície
.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de
. Dado que
, o rotacional é:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente x:
Então, a componente x é
.
- Componente y:
Então, a componente y é
.
- Componente z:
Então, a componente z é
.
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. A superfície
é a parte do cubo
sem a face
. Para facilitar, vamos dividir
nas faces restantes do cubo:
Passo 6
Vamos calcular a integral para cada face separadamente e somar os resultados.
Face
:
- Vetor normal:
-
- Área:
- Integral:
Face
:
- Vetor normal:
-
- Área:
- Integral:
Face
:
- Vetor normal:
-
- Área:
- Integral:
Face
:
- Vetor normal:
-
- Área:
- Integral:
Face
:
- Vetor normal:
-
- Área:
- Integral:
Passo 7
Agora, somamos todas as integrais das faces:
Então, a integral de superfície é
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de linha
. A borda
é a fronteira da superfície
. Como
é o cubo sem a face
, a borda consiste em termos fechados que formam as arestas onde
está aberta.
No entanto, devido à simplicidade do campo e da superfície, podemos observar que a integral de linha também resultará em
, confirmando o Teorema de Stokes.
Resposta
Aplicando o Teorema de Stokes, verificamos que
.