Mostre que as formas diferenciais nas integrais são exatas. Depois calcule as integrais.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que as formas diferenciais dadas são exatas e, em seguida, calcular as integrais correspondentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre formas diferenciais exatas e potenciais. Precisaremos verificar se o campo vetorial associado é conservativo e, então, encontrar uma função potencial que nos permitirá calcular a integral facilmente.
Passo 2
Parte a) Analisando a forma diferencial
.
Primeiro, identificamos os componentes do campo vetorial
:
Passo 3
Para verificar se a forma diferencial é exata, precisamos checar se o campo vetorial
é conservativo. Em três dimensões, isso significa que o rotacional de
deve ser igual a zero:
Passo 4
Calculamos o rotacional de
:
Calculando cada componente:
Portanto:
Como o rotacional de
é zero, concluímos que a forma diferencial é exata.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de integração que pode depender de
e
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 7
Atualizamos a função potencial:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:
Passo 8
Agora, calculamos a integral usando a função potencial
:
Calculando
:
E
.
Passo 9
Parte b) Analisando a forma diferencial
.
Primeiro, identificamos os componentes do campo vetorial
:
Passo 10
Para verificar se a forma diferencial é exata, calculamos o rotacional de
:
Calculando cada componente:
Portanto:
Como o rotacional de
é zero, a forma diferencial é exata.
Passo 11
Agora, encontramos a função potencial
tal que:
Integrando
em rela��ão a
:
Passo 12
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Passo 13
Atualizamos a função potencial:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:
Passo 14
Agora, calculamos a integral usando a função potencial
:
Calculando
:
E
:
Resposta
A integral da parte b) é
.