Mostre que as formas diferenciais nas integrais são exatas. Depois calcule as integrais.
a) integral(0,0,0)^(1,2,3) 2 x y d x+(x^2-z^2) d y-2 y z d z R:-16
b) integral(1,0,0)^(0,1,1) sen(y) cos (x) d x+cos (y) sen(x) d y+d z R: 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que as formas diferenciais dadas são exatas e, em seguida, calcular as integrais correspondentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre formas diferenciais exatas e potenciais. Precisaremos verificar se o campo vetorial associado é conservativo e, então, encontrar uma função potencial que nos permitirá calcular a integral facilmente.

Passo 2

Parte a) Analisando a forma diferencial F = (P, Q, R) = (2xy, x^2 - z^2, -2yz) .
Primeiro, identificamos os componentes do campo vetorial :

Passo 3

Para verificar se a forma diferencial é exata, precisamos checar se o campo vetorial nabla times F = 0 é conservativo. Em três dimensões, isso significa que o rotacional de deve ser igual a zero:

Passo 4

Calculamos o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) :
partial Rpartial y = partial (-2yz)partial y = -2z
Calculando cada componente:
partial Qpartial z = partial (x^2 - z^2)partial z = -2z
partial Ppartial z = partial (2xy)partial z = 0
partial Rpartial x = partial (-2yz)partial x = 0
partial Qpartial x = partial (x^2 - z^2)partial x = 2x
partial Ppartial y = partial (2xy)partial y = 2x
nabla times F = (-2z - (-2z), 0 - 0, 2x - 2x) = (0, 0, 0)
Portanto:
Como o rotacional de é zero, concluímos que a forma diferencial é exata.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma função potencial nabla phi = F implies partial phipartial x = 2xy, partial phipartial y = x^2 - z^2, partial phipartial z = -2yz tal que:
phi(x, y, z) = integral 2xy , dx = x^2y + g(y, z)
Integrando em relação a :
onde é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 6

Agora, derivamos partial phipartial y = x^2 + partial gpartial y = x^2 - z^2 em relação a partial gpartial y = -z^2 implies g(y, z) = -z^2y + h(z) e igualamos a :
Portanto:
onde é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 7

Atualizamos a função potencial:
phi(x, y, z) = x^2y - z^2y + h(z)
Agora, derivamos partial phipartial z = -2zy + dhdz = -2yz em relação a dhdz = 0 implies h(z) = constante e igualamos a phi(x, y, z) = x^2y - z^2y :
Portanto:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:

Passo 8

Agora, calculamos a integral usando a função potencial integral(0,0,0)^(1,2,3) F cdot dr = phi(1, 2, 3) - phi(0, 0, 0) :
phi(1, 2, 3) = (1)^2(2) - (3)^2(2) = 2 - 18 = -16
Calculando :
E .

Passo 9

Parte b) Analisando a forma diferencial F = (P, Q, R) = (sin(y)cos(x), cos(y)sin(x), 1) .
Primeiro, identificamos os componentes do campo vetorial :

Passo 10

Para verificar se a forma diferencial é exata, calculamos o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) :
partial Rpartial y = partial 1partial y = 0
Calculando cada componente:
partial Qpartial z = partial cos(y)sin(x)partial z = 0
partial Ppartial z = partial sin(y)cos(x)partial z = 0
partial Rpartial x = partial 1partial x = 0
partial Qpartial x = partial cos(y)sin(x)partial x = cos(y)cos(x)
partial Ppartial y = partial sin(y)cos(x)partial y = cos(y)cos(x)
nabla times F &= (0 - 0, 0 - 0, cos(y)cos(x) - cos(y)cos(x)) &= (0, 0, 0)
Portanto:
Como o rotacional de é zero, a forma diferencial é exata.

Passo 11

Agora, encontramos a função potencial nabla phi = F implies partial phipartial x = sin(y)cos(x), partial phipartial y = cos(y)sin(x), partial phipartial z = 1 tal que:
phi(x, y, z) = sin(y)sin(x) + g(y, z)
Integrando em rela��ão a :

Passo 12

Derivamos partial phipartial y = cos(y)sin(x) + partial gpartial y = cos(y)sin(x) em relação a partial gpartial y = 0 implies g(y, z) = h(z) e igualamos a :
Portanto:

Passo 13

Atualizamos a função potencial:
phi(x, y, z) = sin(y)sin(x) + h(z)
Agora, derivamos partial phipartial z = dhdz = 1 implies h(z) = z + constante em relação a phi(x, y, z) = sin(y)sin(x) + z e igualamos a :
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:

Passo 14

Agora, calculamos a integral usando a função potencial integral(1,0,0)^(0,1,1) F cdot dr = phi(0,1,1) - phi(1,0,0) :
phi(0,1,1) = sin(1)sin(0) + 1 = 0 + 1 = 1
Calculando phi(1,0,0) = sin(0)sin(1) + 0 = 0 + 0 = 0 :
E :

Resposta

A integral da parte b) é .

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