Calcular
ao longo do triângulo de vértices
e (5,2). R: -4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha
ao longo do triângulo com vértices em
,
e
. Isso está na área de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema de Green. Vamos precisar identificar as partes da integral e aplicar esse teorema para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
na integral. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. A fórmula é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Passo 5
Subtraindo as derivadas, temos:
Passo 6
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. Observando os pontos, vemos que a base vai de
até
, ou seja, tem comprimento 4. A altura é a distância no eixo
, que é 2. A fórmula da área do triângulo é:
Passo 8
Finalmente, substituímos na integral dupla: