Calcular oint[(3 x-2 y-4) d x+(6 y-3 x+4) d y] ao longo do triângulo de vértices (0,0),(1,2) e (5,2). R: -4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha ao longo do triângulo com vértices em , e . Isso está na área de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema de Green. Vamos precisar identificar as partes da integral e aplicar esse teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na integral. Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. A fórmula é:
oint (P , dx + Q , dy) = integral dupla ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
partial Qpartial x = partialpartial x(6y - 3x + 4) = -3
partial Ppartial y = partialpartial y(3x - 2y - 4) = -2

Passo 5

Subtraindo as derivadas, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -3 - (-2) = -1

Passo 6

Então, a integral dupla fica:
integral dupla (-1) , dA = - integral dupla dA = - Área do triângulo Áâ

Passo 7

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em Área = base times a, e . Observando os pontos, vemos que a base vai de até , ou seja, tem comprimento 4. A altura é a distância no eixo , que é 2. A fórmula da área do triângulo é:
Á

Passo 8

Finalmente, substituímos na integral dupla:
- times 4 = -4

Resposta

-4

Exercícios relacionados