Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais e da função dada:
Nesse caso, estamos trabalhando com derivadas parciais, que são utilizadas quando queremos ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos derivar a função em relação a para encontrar e em relação a para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , a derivada parcial em relação a . Isso significa que trataremos como uma constante.
A função é:
Agora, vamos derivar cada termo em relação a :
  1. : A derivada de em relação a é .
  2. : Aqui, é constante. A derivada de é , então temos .
  3. : Derivando , temos .
  4. : Derivando , temos .
  5. e : São constantes em relação a , então a derivada é 0.
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar , a derivada parcial em relação a . Desta vez, trataremos como uma constante.
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. : É constante em relação a , então a derivada é 0.
  2. : Derivando em , temos .
  3. : A derivada de é , então .
  4. : Derivando em , temos .
  5. : Derivada de é 4.
  6. : É constante, então a derivada é 0.
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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Mostrar que a função sobre a região limitada por atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto .
Mostrar que a funcão tem um único ponto crítico em , e que se trata de um ponto de sela.
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
k)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
d)