Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função dada:
Nesse caso, estamos trabalhando com derivadas parciais, que são utilizadas quando queremos ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos derivar a função em relação a
para encontrar
e em relação a
para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, a derivada parcial em relação a
. Isso significa que trataremos
como uma constante.
A função é:
Agora, vamos derivar cada termo em relação a
:
-
: A derivada de em relação a é . -
: Aqui, é constante. A derivada de é , então temos . -
: Derivando , temos . -
: Derivando , temos . -
e : São constantes em relação a , então a derivada é 0.
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, a derivada parcial em relação a
. Desta vez, trataremos
como uma constante.
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
: É constante em relação a , então a derivada é 0. -
: Derivando em , temos . -
: A derivada de é , então . -
: Derivando em , temos . -
: Derivada de é 4. -
: É constante, então a derivada é 0.
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
Exercícios relacionados
Mostrar que a função
sobre a região limitada por
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo no ponto
.
Mostrar que a funcão
tem um único ponto crítico em
, e que se trata de um ponto de sela.
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
k)
k)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
d)
d)