Mostrar que a funcão tem um único ponto crítico em , e que se trata de um ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. A função dada é . Queremos mostrar que ela tem apenas um ponto crítico no plano e que esse ponto é um ponto de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, igualamos isso a zero para encontrar o valor de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Igualando a zero para encontrar o valor de :

Passo 4

Então, o único ponto crítico encontrado é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, vamos usar a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função:
Vamos calcular cada uma dessas segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana para analisar a natureza do ponto crítico:
Como o determinante é negativo ( ), isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , localizado no ponto , e esse ponto é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Dada a função , pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor ;
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
Mostrar que a função sobre a região limitada por atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto .
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
a)