Mostrar que a funcão
tem um único ponto crítico em
, e que se trata de um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. A função dada é
. Queremos mostrar que ela tem apenas um ponto crítico no plano
e que esse ponto é um ponto de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, igualamos isso a zero para encontrar o valor de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando a zero para encontrar o valor de
:
Passo 4
Então, o único ponto crítico encontrado é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, vamos usar a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função:
Vamos calcular cada uma dessas segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana para analisar a natureza do ponto crítico:
Como o determinante é negativo (
), isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, localizado no ponto
, e esse ponto é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Dada a função
, pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor
;
a) Calcular a sua derivada no ponto
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
a)
Mostrar que a função
sobre a região limitada por
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo no ponto
.
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
a)
a)