Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
d)
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais
,
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável (como
,
ou
) significa que vamos derivar a função considerando as outras variáveis como constantes. Além disso, quando derivamos uma função composta, como o logaritmo natural aqui, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, então temos:
Agora, derivamos a parte interna em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Derivando a parte interna em relação a
:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Aplicando novamente a regra da cadeia:
Derivando a parte interna em relação a
:
Assim:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
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Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
k)
k)
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
a)
a)
Determine se a sequência
converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(a) . (converge para 1
(a)
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
(b) . (a sequência converge para 0 e a série converge para
.)
(b)