Mostrar que a função
sobre a região limitada por
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde temos a função
e queremos encontrar onde ela atinge seu valor máximo e mínimo dentro da região definida por
. Esse tipo de problema envolve otimização de funções de várias variáveis sujeitas a certas restrições, e vamos usar conceitos de cálculo multivariável para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos trabalhando:
representa uma esfera de raio 1 centrada na origem. Isso significa que estamos procurando os pontos dentro ou na superfície dessa esfera onde a função
alcança seus valores extremos.
Passo 3
Para encontrar os valores máximos e mínimos de
nessa região, precisamos considerar os pontos críticos dentro da esfera e também na superfície dela. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
,
e
são zero.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico interno é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto:
Esse é um candidato para o valor mínimo.
Passo 6
Para encontrar o valor máximo, vamos verificar na superfície
. Podemos usar o método de Lagrange para isso, mas uma abordagem mais simples aqui é observar que
,
e
estão todos elevados ao quadrado, então para maximizar
, queremos maximizar
, visto que o coeficiente de
é maior (4) comparado aos de
e
.
Passo 7
Assim, o máximo de
ocorre quando
é o maior possível, ou seja, quando
. Nesse caso,
e
.
Vamos calcular
nesses pontos:
Resposta
A função
atinge seu valor máximo igual a 4 nos pontos
e
e seu valor mínimo igual a 0 no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostrar que a funcão
tem um único ponto crítico em
, e que se trata de um ponto de sela.
Dada a função
, pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor
;
a) Calcular a sua derivada no ponto
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
a)
a)
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
k)
k)