Mostrar que a função sobre a região limitada por atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde temos a função e queremos encontrar onde ela atinge seu valor máximo e mínimo dentro da região definida por . Esse tipo de problema envolve otimização de funções de várias variáveis sujeitas a certas restrições, e vamos usar conceitos de cálculo multivariável para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos trabalhando: representa uma esfera de raio 1 centrada na origem. Isso significa que estamos procurando os pontos dentro ou na superfície dessa esfera onde a função alcança seus valores extremos.

Passo 3

Para encontrar os valores máximos e mínimos de nessa região, precisamos considerar os pontos críticos dentro da esfera e também na superfície dela. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a , e são zero.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico interno é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto:
Esse é um candidato para o valor mínimo.

Passo 6

Para encontrar o valor máximo, vamos verificar na superfície . Podemos usar o método de Lagrange para isso, mas uma abordagem mais simples aqui é observar que , e estão todos elevados ao quadrado, então para maximizar , queremos maximizar , visto que o coeficiente de é maior (4) comparado aos de e .

Passo 7

Assim, o máximo de ocorre quando é o maior possível, ou seja, quando . Nesse caso, e .
Vamos calcular nesses pontos:

Resposta

A função atinge seu valor máximo igual a 4 nos pontos e e seu valor mínimo igual a 0 no ponto .

Exercícios relacionados

Mostrar que a funcão tem um único ponto crítico em , e que se trata de um ponto de sela.
Dada a função , pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor ;
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
a)
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
k)