Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
k)
k)
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções exponenciais onde tanto a base quanto o expoente podem depender da variável em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que trataremos
como uma constante e derivaremos a função em relação a
.
Passo 3
A função
possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a
.
Derivando o primeiro termo,
:
Como
é constante, usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:
Derivando o segundo termo,
:
Aqui, a base
depende de
, então usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base constante:
Passo 4
Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, trataremos
como uma constante e derivaremos a função em relação a
.
Passo 6
Novamente, a função
possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a
.
Derivando o primeiro termo,
:
Como
é constante, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com expoente variável:
Derivando o segundo termo,
:
Aqui,
é constante, então usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
a)
a)
Mostrar que a função
sobre a região limitada por
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo no ponto
.
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
d)
d)
Determine se a sequência
converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(a) . (converge para 1
(a)