Em cada caso, achar as derivadas parciais fx e fy da função dada:
k) f = x^y + y^x

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar as derivadas parciais fx e fy da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções exponenciais onde tanto a base quanto o expoente podem depender da variável em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, fx. Isso significa que trataremos y como uma constante e derivaremos a função em relação a x.

Passo 3

A função possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a x.
Derivando o primeiro termo, :
Como y é constante, usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:
Derivando o segundo termo, :
Aqui, a base y depende de x, então usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base constante:

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial fx:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, fy. Aqui, trataremos x como uma constante e derivaremos a função em relação a y.

Passo 6

Novamente, a função possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a y.
Derivando o primeiro termo, :
Como x é constante, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com expoente variável:
Derivando o segundo termo, :
Aqui, x é constante, então usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial fy:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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