Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
k)

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar as derivadas parciais e da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções exponenciais onde tanto a base quanto o expoente podem depender da variável em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que trataremos como uma constante e derivaremos a função em relação a .

Passo 3

A função possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a .
Derivando o primeiro termo, :
Como é constante, usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:
Derivando o segundo termo, :
Aqui, a base depende de , então usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base constante:

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, trataremos como uma constante e derivaremos a função em relação a .

Passo 6

Novamente, a função possui dois termos. Vamos derivar cada termo separadamente em relação a .
Derivando o primeiro termo, :
Como é constante, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com expoente variável:
Derivando o segundo termo, :
Aqui, é constante, então usamos a regra da derivada de uma potência com expoente constante:

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada parcial :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
a)
Mostrar que a função sobre a região limitada por atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto .
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
d)
Determine se a sequência converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(a) . (converge para 1